Оглавление

1.Общая  теория кривых  второго порядка  3

Кривые  второго порядка 3

Классификация кривых второго порядка 4

Построение  кривой второго порядка  в общей и канонической системах координат 5

Эллипс 6

2.Общая  теория поверхностей  второго порядка  8

Поверхности второго порядка 8

Исследование  формы поверхности  второго порядка  методом сечения  плоскостями 9

Построение  поверхности в  канонической системе  координат 10

Параболоиды 11

Список  используемой литературы 16

1.Общая теория кривых второго порядка

Кривые  второго порядка

      Пусть кривая Г задана в декартовой прямоугольной  системе координат xOy уравнением:

             .  (1.1)

      Если  хотя бы один из коэффициентов  отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго порядка. 

      Теорема 1. Для произвольной кривой второго порядка существует такая декартова прямоугольная система координат XO'Y, что в этой системе кривая Г имеет уравнение одного из следующих канонических видов:

      1) , а ³ b > 0 — эллипс;

      2) — мнимый эллипс;

      3) — две мнимые пересекающиеся прямые;

      4) — гипербола;

      5) — две пересекающиеся прямые;

      6) — парабола;

      7) — две параллельные прямые;

      8) — две мнимые параллельные прямые;

      9) — две совпадающие прямые.

     В этих уравнениях a, b, p — положительные параметры.

      Систему координат XO'Y назовем канонической системой координат, а систему координат xOy — общей системой координат.

     Функция называется квадратичной формой, соответствующей уравнению (1.1).

             , (1.2)

             . (1.3)

              (1.4)

            Значения не меняются при переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой, полученной в результате поворота осей координат и переноса начала координат, то есть являются инвариантами кривой Г относительно поворота осей координат и переноса начала.

Классификация кривых второго порядка

      В зависимости от значения инварианта принята следующая классификация кривых второго порядка.

      Если кривая второго порядка Г называется кривой эллиптического типа.

      Если  кривая второго порядка Г называется кривой параболического типа.

      Если кривая второго порядка Г называется кривой гиперболического типа.

      Кривая  второго порядка Г называется центральной, если .

      Кривые  эллиптического и гиперболического типа являются центральными кривыми.

      Центром кривой второго порядка Г называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой кривой расположены симметрично парами. Точка является центром кривой второго порядка, определяемой уравнением (1.1), в том и только в том случае, когда ее координаты удовлетворяют уравнениям:

         (1.5)

      Определитель  этой системы равен  . Если , то система имеет единственное решение. В этом случае координаты центра могут быть определены по формулам:

             , . (1.6)

      Классификация кривых второго порядка в зависимости  от инвариантов:

      1) эллипс — ; 

      2) мнимый эллипс —  ;

      3) две мнимые пересекающиеся прямые (точка) —  ;

      4) гипербола —  ;

      5) две пересекающиеся прямые —  ;

      6) парабола —  ;

      7) две параллельные прямые —  ;

      8) две мнимые параллельные прямые  —  ;

     9) две совпадающие прямые — . 

Построение  кривой второго порядка  в общей и канонической системах координат

Рис.6. Кривая в канонической системе координат

Рис.7. Кривая в общей системе координат

Эллипс

     Эллипсом  называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а. Фокусы эллипса обозначают буквами  и  , расстояние между ними - через 2с. По определению эллипса  или  .

     Пусть дан эллипс. Если оси декартовой прямоугольной системы координат  выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение данного эллипса имеет вид

      (1)

     где  ; очевидно,  . Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением эллипса.

     

     При указанном выборе системы координат  оси координат являются осями  симметрии эллипса, а начало координат - его центром симметрии (рис.). Оси симметрии эллипса называются просто его осями, центр симметрии - просто центром. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами. На рис. Вершины эллипса суть точки A’, A, B’, B. Часто осями эллипса называются также отрезки A’A=2a и B’B=2b; вместе с тем отрезок ОА=а называют большой полуосью эллипса, отрезок OB=b - малой полуосью.

     Если  фокусы эллипса расположены на оси  Оу (симметрично относительно начала координат), то уравнение эллипса  имеет тот же вид (1), но в этом случае  ; следовательно, если мы желаем буквой а обозначать большую полуось, то в уравнении (1) нужно буквы а и b поменять местами. Однако для удобства формулировок задач мы условимся буквой а всегда обозначать полуось, расположенную на оси Ох, буквой b - полуось, расположенную на оси Оу, независимо от того, что больше, a или b. Если a=b, то уравнение (1) определяет окружность, рассматриваемую как частный случай эллипса.

     Число

     

     где а - большая полуось, называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно,  (для окружности  ). Если М(x; y) - произвольная точка эллипса, то отрезки  и  (рис.) называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы могут быть вычислены по формулам

      ,  .

     Если  эллипс определен уравнением (1) и  , то прямые

      , 

     (рис.) называются директрисами эллипса  (если  , то директрисы определяются уравнениями  ,  .

     Каждая  директриса обладает следующим свойством: если r - расстояние от произвольной точки эллипса до некоторого фокуса, d - расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:

     

     Если  две плоскости  и  образуют острый угол  , то проекциейй на плоскость  окружности радиуса a, лежащей на плоскости  , является эллипс с большой полуосью а; малая полуось b этого эллипса определяется по формуле

     

     (рис.).

     

     Если  круглый цилиндр имеет в качестве направляющей окружность радиуса b, то в сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к оси цилиндра под острым углом  , будет эллипс, малая полуось которого рвна b; большая полуось а этого эллипса определяется по формуле

     

     (рис.).

     

3.Общая теория поверхностей второго порядка

Поверхности второго порядка

      Поверхностью  второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

         (3.1)

где, по крайней мере, один из коэффициентов  отличен от нуля.

      Уравнение (4.1) называют общим уравнением поверхности второго порядка S, а систему координат Oxyz называют общей системой координат.

     Теорема: Для произвольной поверхности S, заданной общим уравнением (3.1), существует такая декартова прямоугольная система координат O'XYZ что в этой системе поверхность S задана уравнением одного из следующих канонических видов:

      1) — эллипсоид,

      2) — мнимый эллипсоид,

      3) — однополостный гиперболоид,

      4) — двуполостный гиперболоид,

      5) — конус,

      6) — мнимый конус (точка),

      7) — эллиптический параболоид,

      8) — гиперболический параболоид,

      9) — эллиптический цилиндр,

      10) — мнимый эллиптический цилиндр,

      11) — две мнимые пересекающиеся плоскости (ось O'Z),

      12) — гиперболический цилиндр,

      13) — две пересекающиеся плоскости,

      14) — параболический цилиндр,

      15) — две параллельные плоскости,

      16) — две мнимые параллельные плоскости,

      17) — две совпадающие плоскости (плоскость XOZ).

     В вышеперечисленных уравнениях a, b, c, p — положительные параметры. Систему координат O'XYZ называют канонической.