Исследование операций

Превышение потребностей над запасами.

Вводим “фиктивного” производителя (склад) с потребностями равными абсолютной величине разности между общим количеством запасов и общим количеством требуемых единиц. Стоимость по доставке будет для производителя равна 0, т.к. поставки фактически нет.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ.

Пример 1. Задача управления запасами.

На складе хранится товар, которым обеспечивается сеть магазинов. Товар поступает на склад равными  порциями через равные промежутки времени  и расходуется с постоянной скоростью  так, что к моменту очередного поступления его запасы становятся равными нулю (рис 1.1).

 

Рис. 1.1. Изменение запасов  товара на складе во времени

            Известны:

с₁ - стоимость доставки одной порции товара (руб.),

с₂ - стоимость хранения тонны товара в течение недели (руб./(т х нед.)),

τ - время между двумя последовательными поступлениями товара (нед.),

Т - время обслуживания сети магазинов (плановый период, нед.),

N - необходимое количество товара в течение планового периода (спрос, т).

         Требуется определить количество  товара в порции так, чтобы  общие затраты на обеспечение  спроса N и хранение товара за время Т были минимальными.

         Перейдем к математической формулировке  задачи. Обозначим через х искомое  количество товара в порции (в  тоннах). Подсчитаем отдельно затраты  на доставку и хранение товара. На покрытие спроса N необходимо N/x доставок товара, затраты на которые (в руб.) составят

с₁ N/x.                                                        (1.1)

           За  τ недель (между двумя последовательными поставками) запасы товара на складе убывают с постоянной скоростью от x т до 0, поэтому средний запас составит 0.5x т.

          Действительно, если бы товар  не расходовался, то  затраты на  хранение за τ недель равнялись бы   с₂x  τ руб., т.е. были пропорциональны площади xτ прямоугольника со сторонами x и τ (см. рис. 1.1). При равномерном расходовании товара затраты пропорциональны площади 0.5xτ прямоугольного треугольника с катетами x и τ, которая ровно в два раза меньше площади соответствующего прямоугольника. Следовательно, затраты (в руб.) на хранение товара в течение планового периода равны

с₂ (0.5x τ )( N /x).                                             (1.2)

Складывая затраты (1.1) и (1.2), получим формулу общих затрат

З(х) = с₁ N /x + с₂ (0.5xτ )( N /x).

Поскольку здесь  τ (N /x) = Т, то окончательно получим

З(х) = с₁ N /x +0.5 с₂Т x.                                    (1.3)

          Итак, математически задача управления  запасами заключается в нахождении  такого положительного значения  неизвестной х, при котором  функция общих затрат (1.3) имеет  минимум. В символической записи

З(х) = с₁ N /x +0.5 с₂ Т x → min,                            (1.4)

х > 0.                                                         (1.5)

         Условие (1.4) задачи называют целевым,  оно содержит требование (минимизации  целевой функции), по которому  находится искомое x. Условие (1.5), вытекающее из физического смысла неизвестной x, есть ограничение на x.

          Задача управления запасами, содержащая  ограничение на неизвестную х,  относится к классу задач на  условный экстремум. Конечно,  здесь она предельно упрощена. Существуют более сложные постановки, которые учитывают нерегулярность  поставок товара, ограниченную емкость  склада и другие факторы. По  образному выражению Г. Вагнера  задача управления запасами "играет  в исследовании операций такую  же роль, как законы Ньютона  в физике".

 

Пример 2. Проблема" двух картошек".

 Фирма по переработке  картофеля производит три вида  продукции: картофельные дольки, кубики и хлопья. Анализ загруженности  оборудования и спроса на рынке  показывает возможность произвести  и сбыть до 1.8 т долек, 1.2 т кубиков и 2.4 т хлопьев. Необходимый для переработки картофель фирма закупает у двух поставщиков. Количество готовой продукции и относительная прибыль (доход от реализации готовой продукции за вычетом стоимости сырья), которые можно получить из одной т картофеля каждого поставщика, указаны в табл. 1.1.

Таблица 1.1 Исходные данные задачи о “двух картошках”

          Требуется определить, какое количество  картофеля надо приобрести у  каждого поставщика, чтобы обеспечить  наибольшую относительную прибыль  с учетом возможности сбыта  готовой продукции.

          Перейдем от содержательного  описания ситуации к формализованному. Введем неизвестные х₁ и х₂ - количество картофеля (т), закупаемого у поставщиков 1 и 2 соответственно. Используя три первые строки таблицы, составим балансовые соотношения

0.2х₁ + 0.3х₂ ≤ 1.8                      (для долек),

0.2х₁ + 0.1х₂ ≤ 1.2                    (для кубиков),

0.3х₁ + 0.3х₂ ≤ 2.4                    (для хлопьев).

В левой части каждого  неравенства записан выход готовой  продукции из закупленного картофеля, а в правой части – предельные потребности в продукции на рынке сбыта. Физические размерности сравниваемых величин в балансовых соотношениях одни и те же – т. Относительная прибыль П подсчитывается с помощью последней строки таблицы и в ден. ед. равна

П (х₁, х₂) = 5х₁  + 6х₂.

По смыслу задачи необходимо найти такие значения неизвестных  х₁ и х₂, которые обеспечивают максимальную относительную прибыль

П (х₁, х₂) = 5х₁ + 6х₂ → mах                                 (1.6)

и удовлетворяют ограничениям типа неравенства (балансовым соотношениям для долек, кубиков и хлопьев)

0.2х₁ + 0.3х₂ ≤ 1.8,                                    (1.7)

0.2х₁ + 0.1х₂ ≤ 1.2,                                    (1.8)

0.3х₁ + 0.3х₂ ≤ 2.4,                                    (1.9)

х₁ ≥ 0, х₂ ≥  0.                                     (1.10)

Условия неотрицательности (1.10) добавлены к балансовым соотношениям (1.7) - (1.9), исходя из физического смысла неизвестных.

          Полученная задача называется  задачей линейного программирования. Отличительная ее особенность  состоит в линейности всех  функций, задающих целевое условие  (1.6), ограничения (1.7) - (1.9) и условия  неотрицательности (1.10).

 

Пример 3. Производственная задача «места и времени».

 Компания, располагающая  двумя заводами, заключила контракт  на изготовление а единиц продукции за определенный промежуток времени. Стоимость изготовления продукции в количествах х₁ и х₂ на заводах 1 и 2 составляет х₁²/ с₁ и х₂²/ с2 ден. ед. соответственно, где с₁ и с₂ – известные положительные коэффициенты. Требуется распределить заказ на продукцию между заводами так, чтобы он был выполнен, и общая стоимость изготовления продукции была наименьшей.

          Математическая постановка задачи  достаточно очевидна. В принятых  обозначениях общая стоимость С изготовления продукции равна

С (х₁, х₂) = х₁²/с¹ + х₂²/с₂,

и требование выполнения заказа приводит к условию х₁ + х₂ = а. Необходимо найти такие значения неизвестных х₁ и х₂ , которые доставляют минимум функции

С (х₁, х₂) = х₁²/с¹ + х₂²/с₂ → min                            (1.11)

при ограничениях

х₁ + х₂  = а, х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0.                                     12)

          Неравенства (1.12) отражают физический  смысл неизвестных. Целевая функция  (1.11) в задаче квадратичная относительно  х₁, х₂, поэтому ее относят к задачам нелинейного (квадратичного) программирования.

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Создавая математическую модель, исследователь стремится  достичь относительной простоты результата и возможности его  всестороннего анализа, но вместе с  тем учесть все соответствующие  факторы и детали планируемой  операции. В этих условиях большую  пользу приносит сотрудничество различных  специалистов, коллективные усилия которых  приводят к получению приемлемой модели или ряда взаимосвязанных  моделей, удачно сочетающих противоречивые свойства полноты и компактности.

В курсовой работе, мною были поставлены задачи и цели, которые я успешно выполнила, а именно: Изучила и рассмотрела следующие главы: Особенности темы исследование операций; Основные понятия; Симплекс-метод; Теоремы, доказательства теорем Симплекс-метода; Двойственные задачи; Транспортная задача.

Также в курсовую работу включена практическая часть, в которой я решила три задачи.

В заключении отметим, что  модель и критерий должны выбираться в строгом соответствии с содержанием  и целью конкретной операции, должны быть чувствительны к изменениям исследуемых параметров и достаточно просты в практическом использовании.

 

 

 

Литература

1. Хемди А. Таха Введение в исследование операций = Operations Research: An Introduction — М.: «Вильямс», 2007. — С. 912. — ISBN 0-13-032374-8.
2. Дегтярёв Ю. И. Исследование операций: учебник для вузов по специальности АСУ. — М.: «Высшая школа», 1986.
3. Грешилов А.А. Математические методы принятия решений — М.: «МГТУ им. Н.Э. Баумана», 2006. — С. 584. — ISBN 5-7038-2893-7.