Исследование свойств сингулярной функции

Рассмотрим  на отрезке [0, 1] канторово множество  и определим f сначала на его смежных интервалах, положив на k-ом смежном интервале n-го ранга (включая и его концы). Следовательно,

Таким образом, f определена на отрезке [0, 1] всюду, кроме точек второго рода канторова множества (т.е. точек, не принадлежащих ни смежным интервалам, ни совокупности их концов). Доопределим теперь f  в этих оставшихся точках следующим образом. Пусть t* - одна из таких точек и пусть - сходящаяся к ней возрастающая последовательность точек первого рода (т.е. концов смежных интервалов). Тогда существует предел

Аналогично  существует и предел

пределы (5) и (6) равны между собой. Приняв это общее значение за f(t*), мы получим монотонную функцию, определенную и непрерывную на всем отрезке [0, 1], называемую «канторовой лестницей». Ее производная равна, очевидно, нулю в каждой точке любого смежного интервала, т.е. почти всюду.

Следовательно, для этой функции имеем:

при любом x из полуинтервала .

Отметим попутно, что в случае монотонной f(x) равенство

 влечет равенство  при любом x из полуинтервала .

Чтобы узнать высоту лестницы для любого заданного значения x, необходимо записать x в виде троичного числа и превратить его затем в двоичную дробь, заменяя каждую цифру 2 вплоть до первой единицы (при чтении слева направо) на единицу. Первую единицу (если таковая имеется) оставляем без изменения, а все стоящие справа от нее цифры заменяем нулями. Например, число

отображается  в 

Таким образом, каждому значению x соответствует единственное значение y.

Чтобы вернуться от данного значения y к соответствующему значению (или значениям) x, необходимо записать y в виде двоичной дроби и заменить все единицы, кроме последней (если таковые имеются), двойками, а каждый ноль, расположенный правее последней единицы, заменить одной из трех цифр – нулем, единицей или двойкой.

Определение 7. Функция f, заданная на некотором отрезке [a, b], называется абсолютно непрерывной на нем, если для любого найдется такое , что, какова бы ни была конечная система попарно непересекающихся интервалов с суммой длин, меньшей ,

выполнено неравенство

Ясно, что  всякая абсолютно непрерывная функция  равномерно непрерывна. Обратное, вообще говоря, неверно, например: описанная выше «канторова лестница» непрерывна (а значит, и равномерно непрерывна) на отрезке [0, 1], однако, она не абсолютно непрерывна. Действительно, канторово множество можно покрыть конечной системой интервалов , сумма длин которых сколь угодно мала. Вместе с тем для каждой такой системы интервалов выполнено, очевидно, равенство

Воспользовавшись  средствами системы компьютерной алгебры  Maple, приведем ниже график канторовой лестницы.