История математики Древнего Египта

«Лестница           дом        7

                           Кошка   49          1     2801

                           Мышь   343        2     5602

                           Ячмень 2401     4     11204

                           Мера     16807    вместе  19607».

В задаче речь идет о семи кошках в каждом из семи домов, каждая кошка съела по семь мышей, каждая из которых съела по семь колосьев ячменя; каждый же колос мог дать семь мер хлеба. Сумма домов, кошек, мышей, колосьев и мер хлеба находится  путем умножения:

.

Существует несколько  гипотез о том, как именно было получено данное решение. Согласно О.Нейгебауеру  вычисление соответствовало схеме:

 

1	1	7	49	343	2401	2801	В одном доме
2	2	14	98	686	4802	5602	В двух домах
4	4	28	196	1372	9604	11204	В четырех домах
Вместе  7	7	49	343	2401	16807	19607	В семи домах

 

Рассмотрим задачу на арифметическую прогрессию.

«Пусть сказано разделить 10 мер ячменя между 10 человеками; разница между каждым человеком и его соседом составляет 8 мер ячменя (средняя доля есть одна мера).

Решение. Вычти 1 из 10. Остаток  есть 9. Составь половину разницы; это  есть . Возьми ее 9 раз; это дает . Приложи это к средней доле; вычитай для каждого лица по меры, пока не достигнешь конца».

Итак ход решения можно  представить так: пусть S – сумма убывающей арифметической прогрессии(S=10), n=10 – число ее членов, d= - разность, - ее члены, начиная с наибольшего. Итак:

1. Образуется среднее  арифметическое  .

2. Из числа членов отнимается  единица  .

3. Составляется полуразность  прогрессий  .

4. Полуразность умножается  на число членов без одного:

.

5. Прибавлением результата  к среднему арифметическому находится  первый член прогрессии

.

6. Остальные члены находятся  последовательным вычитанием разности

,

 и т.д.

В основу положено правило (формула) .  Решение этой задачи показывает, что здесь не может быть речи об алгебраической трактовке вопроса, имеем дело с обычным арифметическим рассуждением.

 

Геометрические  знания египтян относятся к измерению площадей и объёмов. Некоторые найденные при этом результаты были замечательными, но в отдельную отрасль математики геометрия ещё не превратилась.

Египтяне пользовались хорошим  приближением, полагая площадь S круга равной квадрату со стороной в диаметра: . Метод получения правила неизвестен. Правдоподобна гипотеза А.Е. Райк о последовательности наложения квадратных сеток. Предполагается, что площадь круга диаметра d сравнивается с площадью описанного квадрата, из которого удалялись малые квадратики со сторонами .

Первое приближение:

.

Второе приближение:

 

.

Эта формула поражает нас  большой степенью точности: ей соответствует  значение . Большой интерес представляет вопрос о том, как был получен этот результат.

Среди пространственных тел  самым "египетским" можно считать  пирамиду, ведь именно такую форму  имеют знаменитые усыпальницы фараонов. Так вот, оказывается, кроме объёма куба, параллелепипеда, призмы и цилиндра египтяне умели вычислять объём  усечённой пирамиды, в основаниях которой лежат квадраты со сторонами  a и b, а высота h. Для этого они применяли специальную формулу. Эта формула считается высшим достижением древнеегипетской математики.

В древнем Египте математика представляла собой совокупность знаний, ещё не расчленившуюся на арифметику, алгебру, геометрию и выступающую  прежде всего как собрание правил для численного решения простейших арифметических, алгебраических и геометрических задач. Проблемы, стоявшие перед египетскими  чиновниками, были главным образом  практические. Многие решения находили путём проб, ощупью и не удивительно, что они оказывались иногда громоздкими  и требовали преодоления больших  трудностей. Но наряду с этим обобщались задачи и они начинали принимать  более абстрактных характер. При  исследовании отдельных проблем  вырабатываются приёмы геометрических и арифметико-алгебраических преобразований, которые предвещали дальнейший рост этих составных частей математической дедукции.

Математика древнего Египта оказала несомненное влияние  на последующие судьбы науки.