Автор работы: Пользователь скрыл имя, 18 Января 2013 в 14:51, контрольная работа
Определения:
Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.
Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.
Обозначается или ( , , ).
Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .
Свойства смешанного произведения:
1)Смешанное произведение равно нулю, если:
а) хоть один из векторов равен нулю;
б) два из векторов коллинеарны;
в) векторы компланарны.
2)
3)
4)
5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен
6)Если , , то
Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.
Найдем координаты векторов:
Найдем смешанное произведение полученных векторов:
,
Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно, точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.
Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).
Найдем координаты векторов:
Объем пирамиды
Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.
Sосн = (ед2)
Т.к. V = ; (ед).
Пример. Даны координаты вершин пирамиды А1(1; 0; 3), A2(2; -1; 3), A3(2; 1; 1),
A4(1; 2; 5).
Сначала найдем вектор нормали к грани А1А2А3 как векторное произведение векторов и .
= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
Найдем угол между вектором нормали и вектором .
-4 – 4 = -8.
Искомый угол g между вектором и плоскостью будет равен g = 900 - b.