Классификация тел кватернионов над р-адическими полями и рациональными числами

Справедливости ради надо отметить, что последним свойством (отсутствием верифицируемых физических предсказаний) обладают также и многие тексты, относящиеся к теорфизическим (в частности, по теориям струн).

 

 

5. Бикватернионы

Бикватернионом называется число гиперкомплексной алгебры, полученной коммутативным удвоением по Кэли алгебры кватернионов:

С мнимой единицей удвоения

Здесь обозначены: Q - представители  алгебры кватернионов, - мнимая единица  удвоения алгебр, B - представитель алгебры  бикватернионов. Мнимая единица удвоения коммутирует по умножению с мнимыми единицами исходного кватерниона и при умножении на мнимые единицы i, j, k дает три новых мнимых единицы, которые обозначим как . Таблица произведений мнимых единиц бикватернионов имеет вид:

При получении данной таблицы произведений мнимых единиц бикватернионов мы полагали правый закон произведения мнимых единиц исходных кватернионов, взятых при удвоении. Так же можно привести таблицу произведений для левых бикватернионов. В дальнейшем будем полагать, что операции будут производиться с правыми бикватернионами в соответствии с приведенной таблицей.

 

Бикватернионы в некоторых  случаях можно рассматривать  как кватернионы над полем  комплексных чисел, при этом набор  мнимых единиц i, j, k и  перемножается  прозрачно - тройка мнимых единиц кватерниона сохраняет структуру кватерниона, а мнимая единица  сохраняет структуру поля комплексных чисел. Так же следует помнить, что бикватернионы являются алгеброй с делителями нуля и не следует слепо копировать на них соотношения, полученные для кватернионов и комплексных чисел.

 

Для бикватернионов, как  и для кватернионов, определены операции сложения, вычитания, умножения и  деления. Операции сложения и вычитания  бикватернионов определены покомпонентно. Умножение бикватернионов полностью  определяется приведенной выше таблицей произведений мнимых единиц бикватернионов.

 

Для бикватернионов определены три операции сопряжения - скалярное  сопряжение, векторное сопряжение и  алгебраическое сопряжение. При этом все три сопряжения абсолютно  различны, более того, алгебраическое сопряжение определено существенно нелинейно.

Свойства бикватернионов.

1. бикватернионы коммутативны по сложению.
2. бикватернионы ассоциативны по сложению.
3. бикватернионы дистрибутивны.
4. бикватернионы некоммутативны по умножению.

Как и для бикомплексной алгебры, для бикватернионов модуль бикватерниона определяется формой четвертой степени.

 

Алгебра бикватернионов содержит делители нуля. Поэтому не для любого бикватерниона может  быть определен бикватернион, обратный ему.

 

6. Паракватернионы

Паракватернионом называется число гиперкомплексной алгебры, полученной некоммутативным удвоением по Кэли алгебры паракомплексных чисел:

С мнимой единицей удвоения

Здесь обозначены: ,- представители алгебры паракомплексных чисел, j - мнимая единица удвоения алгебр, Q - представитель алгебры паракватернионов. Мнимая единица удвоения j не коммутирует по умножению с мнимой единицей исходной паракомплексной алгебры i и при умножении на нее образует третью мнимую единицу, обозначаемую как k. Таблица произведений единиц паракватернионов имеет вид:

 

 

 

Данный закон умножения  определен как правый закон умножения. Так же можно определить паракватернионы  с левым законом умножения. Отличие левых паракватернионов от правых паракватернионов состоит в результате произведения мнимых частей. В большинстве случаев при рассмотрении алгебры паракватернионов пользуются определением паракватерниона как правого паракватерниона. Мы так же будем следовать этому соглашению.

 

По своему строению паракватернионы  очень похожи на кватернионы, что  иногда может вводить в заблуждение  и приводить к реальным ошибкам  при проведении вычислений с их применением.

 

Для паракватернионов определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Операции сложения и вычитания для паракватернионов определены покомпонентно. Умножение паракватернионов определяется таблицей произведений их мнимых единиц, приведенной выше.

 

Операций сопряжения для паракватернионов определено трискалярное, векторное и алгебраическое. В силу строения паракватерниона эти сопряжения полностью совпадают. Паракватернион, сопряженный заданному, образуется сменой знаков у компонент при мнимых единицах.

Как и для кватернионов, для паракватернионов следует сделать оговорку, вызванную совпадением всех трех сопряжений - следует быть внимательным, и различать выражения, использующие сопряжения. Следует внимательно относиться к виду сопряжения.

 

Произведение паракватерниона  на сопряженный ему дает паракватернион, состоящий из только действительной части. Если используемое для умножения сопряжение считать алгебраическим, то результат такого произведения называют квадратом модуля паракватерниона.

Модуль паракватерниона  обладает свойством мультипликативности - модуль произведения паракватернионов равен произведению их модулей.

Паракватернионы являются представителями алгебры с делителями нуля. Как и для паракомплексных  чисел, для паракватернионов можно  выделить подмножества делителей нуля.

В силу того, что паракватернионы являются более общим случаем паракомплексных чисел, свойства делителей нуля для паракомплексных чисел применимы так же и для паракватернионов, а именно:

 

1) любой делитель нуля  для паракватернионов представим  в виде вектора, являющегося  решением уравнения сферы с точкой, лежащей на оси .

2) любой делитель нуля  выразим в виде произведения  действительного числа и идемпотента.

3) произведение делителя  нуля на векторно сопряженный  ему дает ноль.

4) любой паракватернион  представим в виде линейной суперпозиции делителей нуля.

 

 

 

 

 

 

 

ВЫВОД:

 

Свойства кватернионов:

1) кватернионы коммутативны  и ассоциативны по сложению:

2) кватернионы некоммутативны  по умножению:

3) кватернионы ассоциативны  по умножению:

4) кватернионы дистрибутивны:

Для кватернионов операция деления определена как операция обратная операции умножения. Если , то r является решением уравнения . Решим это уравнение, домножив левую и правую часть на и разделив обе части на квадрат модуля. Получим, что

В силу того, что модуль определен для любого кватерниона, делить можно на любой кватернион и, соответственно, для любого кватерниона  существует обратный ему. В силу того, что при определении деления  использовано умножение, а кватернионы  некоммутативны по умножению, делитель для кватернионов может быть как правым, так и левым. При этом также существуют два кватерниона, являющиеся обратными заданному.

Из высшей алгебры  известно, что если некая алгебра  ассоциативна, то левый и правый делитель для числа этой алгебры совпадают. Поэтому для кватернионов левый и правый делители совпадают.

Конструкцию тела кватернионов можно рассматривать как результат  абстрагирования для векторной  алгебры с операциями сложения и  векторного произведения в так называемом аффинном пространстве.

Алгебра кватернионов относительно операций сложения и умножения кватернионов является телом.

Современная роль кватернионов в математической физике исчерпывается  фактически тем, что некоторые преобразования в трехмерном (в частности, эйлеровы повороты) или четырехмерном вещественном векторном про-

странстве либо в пространстве функций трех или четырех вещественных переменных (в частности, некоторые  дифференциальные операторы) удобно выразить в терминах естественных операций над  кватернионами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА:

 

1. Понтрягин Л.С. Обобщения чисел. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 120 с.
2. Ефремов А. П. Кватернионы: алгебра, геометрия и физические теории. – Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, 1, 2004
3. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. – 144 с.
4. Серр Ж.-П. Курс арифметики. – М.: Мир, 1972. – 182 с.