Комплексні числа

 

Дніпропетровське відділення Малої академії наук України

Секція «Математики»

 

 

 

 

                                                                    Комплексні числа

 

 

 

 

 

           Науково-дослідна робота

                                                                     учениці 10-Б класу

                                                                      Криворізької гімназії №127

                                                                      Пономарьової Анастасії

       Науковий керівник -

       Лещенко Лариса Григоріївна,

       учитель математики Криворізької

       гімназії №127

 

 

 

 

 

 

Дніпропетровськ-2012

Тези

Математика – наука  про кількісні співвідношення і  просторові форми світу. Вона виникла  в давні часи з потреб людей. Її використовують в різних галузях: користуючись математичним апаратом, можна не тільки передбачати небесні явища, а  й робити висновки про наявність  невидимих оком небесних тіл. Так  були відкриті Нептун і Плутон. Застосування математики в біологічних та гуманітарних науках здійснюється в більшості  випадків через кібернетику. Для  цих наук істотне значення має  також математична статистика.

Питання про розширення множини  дійсних чисел успішно вирішили лише у ХІХ ст. Відповідно до прийнятих  в математиці принципів розширення поняття числа при розширенні множини дійсних чисел мають  задовольнятися такі вимоги:

1. Означення нових чисел мусить спиратися на поняття дійсного числа, і нова множина має містити всі дійсні числа.
2. Для нових чисел повинні виконуватися п’ять арифметичних дій (додавання,віднімання,множення,ділення та добування кореня).
3. У новій числовій множині мусить мати розв’язок рівняння х² = -1,бо в цій множині має виконуватися дія,обернена до піднесення до степеня.

Комплексне число  геометрично  зображують точкою  координатної площини.

Зручно комплексне число  зобразити у вигляді вектора 

 Довжина вектора, який  зображає комплексне число, називається  модулем цього комплексного числа.  Модуль комплексного числа позначається  .

Математика потрібна в  усіх сферах нашого життя. Це дуже цікава і важлива наука. Кожен її розділ несе в собі безліч нової інформації, яку легко і приємно засвоювати. При чому важливо знати як історію  математики, так і нові відкриття  та досягнення. Комплексні числа наразі найбільша множина,вона має багато підмножин.

 

Зміст

1. Вступ…………………………………………………………………...4
2. Розділи:

2.1.Розширення поняття дійсного числа. Поняття про комплексне число……………………………………………………………………....5

2.2.Дії над комплексними числами…………………………………..…7

2.3.Геометричне зображення комплексного числа……………………10

3. Висновки………………………………………………………………14
4. Список літератури…………………………………………………….15
5. Додатки………………………………………………………………..16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

Математика – наука  про кількісні співвідношення і  просторові форми світу. Вона виникла  в давні часи з потреб людей. Її використовують в різних галузях: користуючись математичним апаратом, можна не тільки передбачати небесні явища, а й робити висновки про наявність невидимих оком небесних тіл. Так були відкриті Нептун і Плутон. Застосування математики в біологічних та гуманітарних науках здійснюється в більшості випадків через кібернетику. Для цих наук істотне значення має також математична статистика.

У багатьох розділах математики та їх застосуваннях неможливо обмежитися розглядом лише дійсних чисел. Вже  досить давно під час розв’язування  задач різних типів виникла потреба  добувати квадратний корінь з від’ємних  чисел .

Введення комплексних  чисел було пов'язане з відкриттям рішення кубічного рівняння, тобто  ще в 16 столітті. І до цього відкриття при рішенні квадратного рівняння x ² = px доводилося стикатися з випадком, коли потрібно було добути квадратний корінь з (p/2) ² - q,  де величина (p/2) ² була менша, ніж q. Але у такому випадку казали, що рівняння не має коренів. Про введення нових (комплексних) чисел в цей час (коли навіть від’ємні числа вважалися “помилковими”) не могло бути і думки. Але при рішенні кубічного рівняння за правилом Тартальї виявилось, що без дій над уявними числами не можна одержати дійсний корінь.

Теорія комплексних чисел  розвивалася поволі: ще в 18 столітті найбільші математики миру сперечалися  про те, як знаходити логарифми  комплексних чисел. Хоча за допомогою  комплексних чисел вдалося одержати багато важливих фактів, що відносяться  до дійсних чисел, але саме існування  комплексних чисел багатьом здавалося  сумнівним. Вичерпні правила дій  з комплексними числами дав і  в 18 столітті російський академік Ейлер - один з найбільших математиків  всіх часів і народів.  На межі 18 і 19 століть було вказане Весселем (Данія) і Арганом (Франція) геометричне зображення комплексних чисел. Але на роботи Весселя і Аргана не звернули уваги, і лише в 1831 р. коли той же спосіб був розвинений великим математиком Гаусом (Німеччина), він став загальним надбанням.

                                           

Розширення поняття дійсних  чисел. Поняття про комплексне  число

Питання про розширення множини  дійсних чисел успішно вирішили лише у ХІХ ст. Відповідно до прийнятих  в математиці принципів розширення поняття числа при розширенні множини дійсних чисел мають  задовольнятися такі вимоги:

1. Означення нових чисел мусить спиратися на поняття дійсного числа, і нова множина має містити всі дійсні числа.
2. Для нових чисел повинні виконуватися п’ять арифметичних дій (додавання,віднімання,множення,ділення та добування кореня).
3. У новій числовій множині мусить мати розв’язок рівняння

х² =-1,бо в цій множині має виконуватися дія,обернена до піднесення до степеня.

Оскільки існує вимога, щоб у новій числовій множині рівняння х² = -1мало розв’язок , необхідно ввести деяке нове число, вважаючи його коренем даного рівняння. Число,квадрат якого дорівнює -1,позначають буквою і і називають уявною одиницею. Рівняння і² = -1 приймається за означення і не доводиться. До нової множини мають належати числа виду bi (добуток дійсного числа на уявну одиницю) і числа виду a + bi (сума дійсного числа a і добутку числа b на уявну одиницю).

Отже,нова множина чисел  повинна містити всі числа  виду a + bi. Числа виду a + bi, де a і b – довільні дійсні числа,а i – уявна одиниця, називають комплексними, або складеними. Число a називають дійсною частиною комплексного числа a + bi,а вираз bi - уявною.

Число b називають коефіцієнтом при уявній частині. Наприклад, у числі 6+7i дійсна частина 6, уявна - 7i. Коефіцієнт при уявній частині дорівнює 7. Числа виду a + 0i ототожнюються з дійсними числами (a + 0i= a). Таким чином виконується обов’язкова для будь-якого розширення поняття числа вимога, щоб попередній числовий «запас» входив до нової числової множини як її частина. Множина дійсних чисел є підмножиною множини комплексних чисел. Відповідно до вимог, що ставляться при будь-якому розширенні поняття числа, при побудові множини комплексних чисел треба ввести за означенням умову рівності цих чисел і правила виконання прямих дій – додавання і множення.

Два комплексних числа a + bi i c + di рівні між собою тоді і тільки тоді, коли a = c, b = d, тобто коли рівні їхні дійсні частини і коефіцієнти при уявних часинах. 
Поняття «більше» і «менше» для комплексних чисел не застосовують. Ці числа не порівнюють.

Важливим є поняття  про спряжені комплексні числа. Спряженими є числа,дійсні частини яких рівні,а коефіцієнти при уявних частинах мають протилежні знаки. Наприклад, спряженими є комплексні числа 4 + 3і та 4 – 3і; 6і та -6і. До числа 11 спряженим буде число 11, бо 11+0і = 11-0і.

Вперше, мабуть, уявні величини з'явилися у відомій праці «Велике  мистецтво, або про правила» алгебри  Кардано (додаток 1), який однак, визнав їх непридатними до вживання. Користь  уявних величин, зокрема, при рішенні  кубічного рівняння, в так званому  випадку, коли дійсне коріння многочлена виражається через кубічне коріння  з уявних величин, що не приводиться, вперше оцінив Бомбеллі. Вирази вигляду a + bi , що з'являються при рішенні квадратних і кубічних рівнянь, стали називати «уявними» в XVI—XVII століттях, проте навіть для багатьох значних учених XVII століття алгебраїчна і геометрична сутність уявних величин представлялася неясною. Лейбніц (додаток 2), наприклад, писав: «Дух божий знайшов якнайтоншу віддушину в цьому диві аналізу, виродку з світу ідей, подвійній суті, що знаходиться між буттям і небуттям, яку ми називаємо уявним коренем з від'ємної одиниці».

Довгий час було неясно, чи всі операції над комплексними числами приводять до комплексних  результатів, або, наприклад, добування  кореня може привести до відкриття  якогось нового типу чисел. Задача про  вираз кореня степеня n з даного числа  була вирішена в роботах Муавра (додаток 3) і Котса.

Символ і запропонував Ейлер (додаток 4), що узяв для цього першу букву слова лат. imaginarius. Він же розповсюдив всі стандартні функції, включаючи логарифм, на комплексну область. Ейлер також висловив в 1751 році думку про замкнутість алгебри поля комплексних чисел. До такого ж висновку прийшов д'Аламбер, але перший строгий доказ цього факту належить Гаусу (додаток 5). Гаус і ввів в широке вжиток термін «комплексне число» в 1831 році, хоча цей термін раніше використовував в тому ж смислі французького математика Лазар Карно в 1803 році.

Арифметична модель комплексних  чисел як пара дійсних чисел була побудована Гамільтоном, це довело несуперечність їхніх властивостей. Гамільтон запропонував і узагальнення комплексних чисел  — кватерніони, алгебра яких некомутативна.

Дії над комплексними числами

Додавання комплексних  чисел.

Означення. Сумою двох комплексних чисел a + bi і c + di називається комплексне число(a + bi) + (c + di), дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно сумі дійсних частин і коефіцієнтів при уявних частинах доданків, тобто (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Приклад.

(3 + 2і) + (-1 – 5і) = (3-1) + (2-5)і = 2-3і

З прикладу випливає, що додавання  комплементарних чисел ми виконуємо  за правилом додавання многочленів. У множині дійсних чисел справедлива рівність a + 0 = a. У множині комплексних чисел нулем є число 0 + 0ί. Справді, яке б не було число , справедлива рівність

(a + bi) + (0+0і) = (a +0) + (b +0)i = a + bi.

За аналогією з дійсними числами, для комплексних чисел  вводиться поняття про протилежні числа: два числа a + bі та -a - bі, сума яких дорівнює 0, називають протилежними.

Додавання комплексних чисел підлягає переставному та сполучному законам. Доведемо, наприклад, справедливість переставного закону додавання комплексних чисел. Нехай,z₁ = a + bі, z₂= c + dі. Тоді z₁+ z₂  = (a + bі) + (c + dі) = (a + c) + (b + d)і , z₂+ z₁ = (c + dі) + (a + bі) = (c + a) + (d + b)і. Оскільки для додавання дійсних чисел справджується переставний закон, тобто a + c = c + a; b + d = d + b, тобто (a + c) + (b + d)і = (c + a) + (d + b)і , то z₁ + z₂ = z₂+ z₁, що й треба було довести. Означення суми комплексних чисел поширюється і на випадок трьох і більше доданків.

Віднімання комплексних  чисел. Віднімання комплексних чисел означають як дію, обернену до додавання, коли за даною сумою й одним з доданків знаходять другий, невідомий доданок.

Означення. Різницею двох комплексних чисел z₁= a + bі і z₂ = c + dі називається таке комплексне число z₃= x+yі, яке в сумі з z₂ дає z₁.

Отже, z₁- z₂= z₃, якщо z₃ + z₂= z₁. можливість дії віднімання комплексних чисел та її однозначність потребує доведення.

Доведемо, що для будь –  яких комплексних чисел z₁= a + bі і z₂ = c + dі різниця z₁- z₂ визначена і до того ж однозначно. Доведемо, що існує, і до того ж єдине, комплексне число z₃= x+yі, яке в сумі з z₂  дає z₁.

За означенням дії віднімання, (c + dі) + (x+yі) = a + bі. Виконавши додавання в лівій частині рівності, дістанемо:

(c + x) + (d + y)і = a + bі (1).

З умови рівності двох комплексних  чисел маємо:

 

c + x = a

d + y = b

Ця система має розвиток, і  до того ж єдиний: x = a - c, y = b – d. Отже, існує , і до того ж єдина, пара дійсних чисел (x, y), яка задовольняє рівняння (1), що і треба було довести. З доведеного випливає, що віднімання комплексних чисел виконують за таким правилом:

(a + bі) – (c + dі) = (a - c) + (b – d)і.

Приклад.

(3+4і) – (1+2і) = (3-1) + (4-2)і = 2 + 2і;

 

Множення комплексних  чисел.

Означення. Добутком двох комплексних чисел a + b і c + dі називається комплексне число (ac - bd) + (ad + bc)і . Суть і доцільність цього означення стане зрозумілою, якщо взяти до уваги, що цей добуток утворений так, як виконується множення двочленів з дійсними коефіцієнтами, а саме (a + bі)( c + dі) = ac + adі + bcі + bdі ² = ac +  (ad + bc)і + bdі ². Замінюючи, за означенням, і ²на –1, дістанемо: bdі ² = -bd . Відокремивши дійсну частину від уявної, остаточно матимемо:

(a + bі)( c + dі) = (ac - bd) + (ad + bc)і (2)

Формулу (2) не слід намагатися механічно запам’ятати. Під час множення комплексних чисел треба користуватись відомим правилом множення двочленів a + bі і c + dі з наступною заміною і² на –1.

Приклад.

(4-5і)(3+2і) = 12+8і -15і -10і ²= 12+10-7і =22-7і.

Дія множення комплексних  чисел підлягає основним законам  множення, встановленим для дійсних  чисел: переставному і сполучному. Знайдемо добуток двох спряжених комплексних чисел. Маємо: (a + bі)( a - bі) = a² - (bі)² = a² -b²і ² = a² + b², тобто (a + bі)( a - bі)  = a² + b².