Контрольная работа по Экономико-математические методы и прикладные модели

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А = (а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат, аij			Конечный продукт, Y
	1	2	3
1	0,3	0,4	0,1	200
2	0,1	0,2	0,4	300
3	0,3	0,4	0,1	200

 

 

 

 

 

Решение: 

1) Составим  матрицу А коэффициентов прямых  затрат.

По условию задачи:

                       0,3  0,4  0,1                     

       А =    0,1  0,2  0,4       

                 0,3  0,4  0,1                     

                                                                                                 200

Составим вектор столбец конечной продукции: Y =    300

                                                                                                 200

Модель Леонтьева  в матричной форме имеет вид:

X = A·X+Y, где

А – матрица  коэффициентов прямых материальных затрат;

Х – вектор столбец валовой продукции по соответствующим отраслям;

Y – вектор столбец конечной продукции.

Находим матрицу (Е – А):

                    1  0  0                0,3  0,4  0,1            0,7  -0,4  -0,1

(Е – А) =     0  1  0       –       0,1  0,2  0,4    =     -0,1  0,8  -0,4

                    0  0  1                0,3  0,4  0,1            -0,3  -0,4  0,9

 

Используя формулу  , находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью MS Excel:

 

 

 

 

В результате получаем:             

                             2,000   1,429    0,857

=     0,750    2,143    1,036

                                 1,000   1,429    1,857

Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна.

Найдем вектор Х величин валовой продукции по отраслям используя формулу Х = BY, где

В – матрица  коэффициентов полных материальных затрат;

Y – вектор столбец конечной продукции.

        Получаем:

                   2,000    1,429    0,857           200           1000

Х =BY =    0,750    2,143    1,036    *     300    =     1000  

                        1,000    1,429    1,857           200           1000

Приступаем  к заполнению таблицы: 

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли			Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	3
1 2 3	300,0 100,0 300,0	400,0 200,0 400,0	100,0 400,0 100,0	200 300 200	1000 1000 1000
Условно чистая продукция	300,0	0,0	400,0	700
Валовая продукция	1000,0	1000,0	1000,0		3000

Для определения элементов первого  квадранта материального межотраслевого баланса воспользуемся формулой, вытекающей из формулы  ;     ,  где  

Для получения  первого столбца первого квадранта  нужно элементы первого столбца  заданной матрицы А умножить на величину Х₁= 1000; элементы второго столбца матрицы А умножить на Х₂ = 1000; элементы третьего столбца матрицы А умножить на Х₃= 1000.

Составляющие  третьего квадранта (условно чистая продукция) найдем как разность между  объемами валовой продукции и  суммами элементов соответствующих  столбцов найденного первого квадранта.

Четвертый квадрант состоит из одного показателя и служит для контроля правильности расчета: сумма элементов второго  квадранта должна в стоимостном  материальном балансе совпадать  с суммой элементов третьего квадранта.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4

 

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного  временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице

Номер варианта	Номер наблюдения (t=1,2,...,9)
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
6	12	15	16	19	17	20	24	25	28

 

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Ŷ(t)=a₀ +a₁ t, параметры которой оценить МНК (Ŷ(t) – расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Оценить адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).
4. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. По построенной моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза при доверительной вероятности p=70%).
6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления  провести с одним знаком в дробной  части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах.

 

Решение:

 

1. Проверяем наличие аномальных наблюдений методом Ирвина:

, где  среднеквадратическое отклонение рассчитываем, используя следующие формулы:

 ,     

Построим  следующий ряд, используя MS Excel:

    

В результате получаем следующую таблицу:

    

Анамальных наблюдений во временном  ряду нет, так как расчетные значения λ _t меньше табличного λ _t < 1,6 .

 

2) Построим линейную модель вида Y_р(t) = a₀ + a₁t по методу наименьших квадратов. Коэффициенты а₀ и а₁ линейной модели найдем из решения нормальной системы уравнений:

Известно, что 

Построим  следующую таблицу, используя MS Excel:

 

Таким образом, получаем следующие данные:

Уравнение регрессии зависимости Y_t  от t_t имеет вид: Y(t) = 10,31 + 1,85t

Также, для получения коэффициентов регрессии можно использовать настройку MS Excel «Анализ данных». Для этого занесем исходные данные в таблицу:

Затем, используя пункт Регрессия настройки - «Анализ данных» оцениваем параметры модели.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Результат регрессионного анализа представлен ниже:

 

 

Таким образом, средствами MS Excel получены коэффициенты уравнения регрессии а₀ = 10,31, а₁ = 1,85, стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости Y_t от t_t имеет вид: Y(t) = 10,31 + 1,85t

 

4) Оценим адекватность построенной модели используя MS Excel. Для нахождения необходимых показателей построим таблицу:

           

ξ_t = 0, значит модель адекватна.

 

• В нашем примере общее число поворотных точек 6.

_{Критерий  случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 имеет вид:}

  _{6 > 2}

_{Неравенство выполняется, следовательно, критерий случайности ряда остатков выполнен.}

• Условие наличия (отсутствия) автокорреляции можно проверить по критерию Дарбина-Уотсона в основе которого лежит расчетная формула:

 

     

 d^/ = 4 – 2,03 = 1,97

Критические значения статистики: d_1kp=1,08 и d_2kp=1,36;

d и d^/ > 1,36 поэтому уровни остатков не зависимы

• Условие соответствия ряда остатков нормальному закону распределения проведен по RS - критерию:

1,27

(2,7;3,7), т.е. 3,03 (2,7;3,7), значит модель адекватна.

 

5) Оценим точность построенной модели на основе относительной ошибки аппроксимации, рассчитанной по формуле:

_{Ошибка  не превышает 15%, значит, точность модели считается  приемлемой.}

 

 

 

 

6) Строим прогноз по построенной модели:

Точечный прогноз получается путем подстановки в модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения k: t = n+k. Так, в случае трендовой модели в виде полинома первой степени - линейной модели роста - экстраполяция на k шагов вперед имеет вид:

Точечный  прогноз на следующие две недели имеет вид:

Y_n+1=10,31+1,85(9+1)=28,81

Y_n+2=10,30+1,85(9+2)= 30,66

Учитывая, что модель плохой точности будем  прогнозировать с небольшой вероятностью Р=0,7

Доверительный интервал:

Критерий  Стьюдента (при доверительной  вероятности  р = 0,7; ν = n-2= 9-2=7), равен: t= 1,119

Интервальный  прогноз равен  U₁₀ = 28,81 ± 1,88

                                                            U₁₁= 30,66 ± 1,99

Показатель	Точечный прогноз	Интервальный прогноз
		Нижняя граница	Верхняя граница
10	28,81	26,93	30,69
11	30,66	28,67	32,65

7) Представим графически результаты моделирования и прогнозирования для этого составим таблицу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  литературы

 

1. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel / Практикум: Учебное пособие для вузов. – М.: ЗАО, 2000. – 136 с.

2. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учеб. пособие. – М.: Вузовский учебник, 2007. – 365 с.

3. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 391 с.