Контрольная работа по "Математике"

    Х=4: P₄=0,4³=0,064

    Проверка:

    0,6+0,24+0,096+0,064=1

    Запишем ряд распределения 

 

    Изобразим ряд распределения графически в  виде полигона 

 

    2) Составим функцию распределения:

    

    Построим  график функции распределения 

 

    3) Математическое ожидание и дисперсия  находятся по формуле:

    

    

    D(X)=3,448-1,624²=0,8106

    

    4) Найдем требуемые вероятности:

    Р(X<MX)=Р(X<1,624)=F(1,624)=0,6

    Р(X³MX+1)=1–Р(X<2,624)=1–0,84=0,16

     =P(0,7237<X<2,5243)=0,84–0=0,84 

Задание 5 

    При исследовании некоторого непрерывного признака экспериментатор предположил, что этот признак подчиняется закону распределения с плотностью

1. При каком  значении С экспериментатор будет прав? Построить график плотности распределения.
2. Найти функцию распределения с.в. и построить её график.
3. Вычислить математическое ожидание (среднее значение)  М , дисперсию D и среднее квадратическое (стандартное) отклонение ( ).
4. Во сколько раз число опытов, в которых экспериментатор будет получать результат меньше среднего значения, превышает число опытов, в которых результат будет больше среднего значения?

 

    Решение:

      

    1) Для нахождения постоянной C воспользуемся свойством плотности распределения:

    

      

    Построим  график плотности распределения 

 

    2) Найдем функцию распределения

    а) если x<0, то F(x)=0, т.к. значений, меньших 0, случайная величина не принимает.

    б) если 0£x<15, то

    

    в) если 15£x<17, то

    

    г) если x>15, то

      в силу свойства плотности  распределения 

    Окончательно  получим:

    

    Построим  график F(x): 

 

    3) математическое ожидание вычисляется  по формуле

    

    

    Дисперсия вычисляется по формуле:

     , где 

    

    DX=215,889-14,417²=8,0486

    Среднее квадратическое отклонение равно:

    4)

    Р(X<MX)=Р(X<14,417)=F(14,417)=

    Р(X³MX)=1–Р(X<MX)=1–0,2959=0,7041

    Тогда число опытов, в которых результат  будет меньше среднего значения, превосходит  число опытов, в которых результат  будет больше среднего значения, в 0,2959/0,7041=0,42 раза. 

Задание 6 

    Выборка из большой партии микросхем нового типа содержит 25 микросхем. Время непрерывной  работы до выхода из строя для этих микросхем оказалось равным (в  сутках):

    37.48, 36.72, 36.75, 37.64, 35.41, 36.28, 36.36, 36.96, 37.29, 36.53, 36.55, 35.75, 36.47, 35.91, 34.90, 34.45, 34.40, 35.86, 37.30, 36.08, 35.63, 35.02, 35.19, 36.16, 33.93

    Необходимо:

1. Определить исследуемый признак и его тип  (дискретный или непрерывный).
2. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.
3. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.
4. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.
5. Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п.3 закону распределения при уровне значимости 0,01.
6. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,99.
7. С надежностью  0,99  проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 36С;

б) генеральной  дисперсии значению  С 2, где   С = 1 + (К + М)/100. 

    Решение:

    Значения  выборки в соответствии с вариантом  задания

 

    1. Тип признака – непрерывный, т.к. случайная величина может принимать любые значения из некоторого интервала.

    2. Построим гистограмму относительных  частот. Определим количество интервалов:

    k=1+1,44×ln n, где n - количество значений, а k - количество интервалов.

    В данном случае имеется 25 значений, поэтому  количество интервалов равно:

    k=1+1,44×ln 25 » 5,6. Примем количество интервалов равным 5.

    Определим величину одного интервала:

    

    Определим относительные частоты для каждого  интервала. Расчеты удобно провести в таблице 

 

    Построим  гистограмму 

 

    3. На основе визуального анализа  можно выдвинуть гипотезу о  распределении признака по нормальному  закону. 

    4. Определим выборочные характеристики  изучаемого признака.

    а) выборочное среднее:

      

    б) выборочная дисперсия:

      

    в) выборочное среднее квадратическое отклонение

      

    5. Проверим гипотезу о соответствии  выборочных данных нормальному  распределению.

    Определим концы интервалов по формуле  , для чего составим таблицу 

 

    Найдем  теоретические вероятности p_i и теоретические частоты . Результаты расчетов запишем в таблицу