Автор работы: Пользователь скрыл имя, 03 Марта 2013 в 12:31, контрольная работа
решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы, векторная алгебра, методы аналитической геометрии
Северо-Западный государственный
заочный технический
Кафедра математики
Контрольная работа № 1
Выполнила: Смирнова В.Г.
Шифр: 9701131026
Кронштадт 2010
Задача № 6
Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
Решение.
Запишем данную систему в виде одного матричного уравнения AX=B, где
Для решения матричного уравнения с помощью обратной матрицы вычислим определитель матрицы А
D(A) =
Т.к. D(А) , то матрица А имеет обратную матрицу А-1, для вычисления которой найдём алгебраически дополнения элементов матрицы А:
Тогда
Найдём решение системы по формуле
Ответ:
Задача № 12.
Решить средствами векторной алгебры.
Найти объём треугольной пирамиды с вершинами в точках
Решение:
Объём пирамиды, построенной на векторах составляет одну шестую часть от объёма параллелепипеда, построенного на тех же векторах. Используя свойство 7 смешанного произведения векторов, получим
Найдём координаты необходимых векторов по формуле:
как разность
координат точек конца и
Найдём их смешанное произведение:
и определим
Ответ: .
Задача № 27.
Решить методами аналитической геометрии.
Дана плоскость и прямая, проходящая через точки Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними.
Решение:
Рассмотрим прямую, проходящую через точки Пусть - производная точка прямой. Очевидно, что векторы и коллинеарные. Запишем условие их коллинеарности в виде:. Это и есть уравнение прямой, проходящей через две точки.
Найдём координаты точки - точки пересечения прямой с плоскостью Для этого от канонических уравнений прямой перейдём к параметрических и, добавив уравнение плоскости получим систему для определения координат искомой точки:
Из 3го и 4го уравнений получим , тогда . Таким образом, – точка пересечения заданной прямой с плоскостью .
Но, координаты точек совпадают, следовательно, точка В является точкой пересечения с плоскостью.
B
● A
Найдём угол между прямой и плоскостью.
Ответ: координаты точки пересечения прямой с плоскостью , угол между прямой и плоскостью равен .
Задача 37
Найти координаты точек пересечения кривых. Указать вид кривых. Сделать рисунок.
Решение.
Определим вид кривых. Уравнение определяет окружность с центром в точке и радиусом .
Уравнению соответствует парабола, симметричная оси Ох, ветви которой направлены вправо, а вершина находится в точке . Координаты точек пересечения двух заданных линий являются решениями системы уравнеий:
y M1
x
M2
При уравнение решения не имеет.
Таким образом, заданные окружность и парабола пересекаются в двух точках .
Ответ: .
Задача 46.
Сделать схематический рисунок тела, заданного системой неравенств. Указать вид поверхностей, ограничивающих это тело. Определить, по каким линиям и в каких плоскостях пересекаются эти поверхности
Решение:
Тело в пространстве задано системой неравенств
Уравнение задаёт в пространстве однополосной гиперболоид с осью , смещённый вдоль оси на 1, с радиусом . Очевидно, что линиями пересечения поверхностей будут окружности такого же радиуса, что и направляющая цилиндра.
Параболоид, задаваемый уравнением , разбивает пространство на две части, одна из которых и задаётся неравенством для любой точки параболоида , а это означает, что параболоид лежит по одну сторону от плоскости .
Т.к. координаты точки удовлетворяют этому неравенству, то речь, очевидно, идёт о части пространства, лежащей внутри параболоида.
Определим, в каких плоскостях пересекаются поверхности. Для этого из уравнений системы исключим x и y: подставим в уравнение гиперболоида. Получим:
На рисунке изображено тело, ограниченное параболоидом с центром оси , расположенное в плоскостях , с вершиной в точке .
z
y
x