Контрольная работа по "Математике"

                                              Контрольная работа  №1.

 

 

40.  Дано:

Доказать совместность системы линейных алгебраических уравнений  и решить её: 1) используя формулы Крамера; 2) методом Гаусса.

 

                                                  Решение.

Совместность данной системы уравнений докажем, используя  теорему Кронекера – Капелли:

«Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и  только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы».

Основная матрица системы:

Расширенная матрица системы:

 

 Ранг расширенной  матрицы системы равен

 

т. к. наибольший из порядков миноров данной матрицы / 3-ий порядок/, например

отличен от нуля.

 

 Ранг основной матрицы также  равен трём:

 

Таким образом, система совместна, причём имеет единственное решение, т. к. ранг системы равен числу неизвестных.

Решаем систему по формулам Крамера.

 

где  D  - определитель основной системы; D_xi - определитель, получающийся заменой i – ого столбца определителя основной системы столбцом свободных членов. Имеем:

 

 

 

 

Решаем систему методом Гаусса. Приводим расширенную матрицу системы  с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.

 

Умножим первую строку матрицы  на –4/7 и сложим со второй. Получим эквивалентную матрицу:

Далее, прибавим к третьей  строке первую, умноженную на –2/7:

 

Вторую строку умножим на –31/20 и сложим с третьей:

 

Получаем систему, эквивалентную  исходной:

 

Из третьего уравнения  находим:

 

Из второго:

 

 

Из первого:

Возможно также применение метода исключения Гаусса – Жордана:

 

60. Даны координаты вершин пирамиды ABCD.

Найти:

1. длину ребра АВ;
2. величину угла (в градусах и минутах) между рёбрами АВ и AD;
3. площадь грани АВС;

Сделать чертёж в декартовой системе координат.

 

                                                          Решение.

 

1). Расстояние между двумя точками Р₁(x₁;y₁;z₁) и P₂(x₂;y₂;z₂) находится по формуле:

Находим:

2). Угол g между прямыми АВ и АD, направление которых определяется векторами AB(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A) и AD(x_D-x_A;y_D-y_A;z_D-z_A):

Отсюда

 

 

3). Площадь S грани (треугольника) АВС определяется формулой:

Вычисляем:

 

Пирамида:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

80. Дано:

Записать число

в алгебраической и тригонометрической формах; построить число  z  на комплексной плоскости.

 

                                                             Решение.

Выполним деление. Для комплексных  чисел

имеет место формула:

 

При сложении комплексных  чисел складываются соответствующие  их части:

 

Тригонометрическая форма. Находим  модуль числа z:

Главное значение аргумента (принадлежащее промежутку [0;2p)):

т. е. j = p/6.

 

 

Имеем

 Строим число z на комплексной плоскости:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                               Контрольная работа №2.

 

100. Найти производные заданных функций:

 

а).

 

б).

 

в).

г).

 

120. Найти производные

заданных функций.

а).

б).

 

Производную от функции, заданной параметрически, находят по формуле

Имеем:

 

Найдём вторую производную по формуле:

 

140. Найти пределы функций.

 

а).

Величины (8/x), (5/x²), (1/x²) при x→∞ являются бесконечно малыми.

 

б).

Под пределом неопределённость вида {0/0}. Для раскрытия неопределённости применим правило Лопиталя.

 

при условии существования  пределов отношений производных, т. е. дифференцирование ведётся до исключения неопределённости.

 

Имеем:

 

в).

Аналогично:

 

г).

д).

 

Найдём односторонние пределы. Используя основное логарифмическое  тождество, воспользуемся формулой:

 

Т. к. величина ln(1/2) отрицательна, а (1/x) при x→0 справа стремится к плюс бесконечности, получаем exp(-∞) = 0.

Аналогично рассуждая,

 

160. Доказать, что функция

 

удовлетворяет уравнению

 

                                                            Решение.

Находим:

      

                                                Контрольная работа №3.

 

180. Найти неопределённые интегралы.

 

а).

б).

 

в).

 

г). В данном случае пользуемся методом интегрирования по частям.

 

 

 

д).

 

е).

 

Применим подстановку sin(x) = t. Тогда

Получаем

 

200. Вычислить определённый интеграл:

 

а).

 

б).

 

220. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

 

а).

 

б ).

В данном случае имеем  интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл 2-го рода).

Подынтегральная функция терпит разрыв во внутренней точке 0 отрезка [-1;1]. Применяем  формулу

 

Интеграл слева называется сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

Предела

 

не существует, следовательно, исходный интеграл расходится.

 

240. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж.

 

Дано: локон Аньези

и ось абсцисс.

                                                                Решение.

 

 Алгебраическая кривая  “локон Аньези” при любом  значении параметра а никогда  не пересекает ось абсцисс (что также видно из графиков этой кривой при различных значениях а). Она сколь угодно близко приближается к оси абсцисс, но общих точек с ней не имеет. В силу этого, некорректно говорить о площади фигуры, ограниченной этой кривой и осью Оx.

 Рассмотрим задачу в предельном  смысле. Т. к. локон Аньези –  симметричная кривая относительно оси Оy, достаточно взять удвоенную площадь фигуры при полжительном изменении x. Рассмотрим несобственный интеграл

 

 

При стремлении b→∞ arctg(b/a) будет стремиться к (p¤2). Площадь равна

 

 

                                                      Контрольная работа №4.

 

260. Найти частное решение дифференциального уравнения.

а).

Уравнение решаем по методу И. Бернулли.

 общее решение данного уравнения. Согласно начальному условию

Частное решение

 

б).

 

Данное уравнение однородное, т. к. функции

- однородные функции первого  порядка. Полагаем

  уравнение с разделяющимися  переменными. Делим переменные:

Полагаем в силу произвольности константы

 

Согласно начальному условию находим  с: с = 1.

Частное решение

 

 

300. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

 

                                                             Решение.

 

Составляем характеристическое уравнение:

Данное уравнение имеет один корень кратности 2 и два корня кратности 3:

Находим общее решение:

 

320. Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом исключений.

 

                                                              Решение.

 

Продифференцируем первое уравнение:

Подставляем

в полученное равенство

Составляем систему уравнений:

Из первого уравнения системы  выражаем y через x и x^|:

Подставляем значение y во второе уравнение последней системы:

Получили ЛОДУ второго порядка. Составляем характеристическое уравнение:

Его корни

 

• общее решение уравнения.

Находим функцию y . Подставляя значения

в формулу

получаем

 

 

б).

Данное уравнение однородное, т. к. функции

 

- однородные функции первого  порядка. Полагаем

 

 

- уравнение с разделяющимися переменными. Делим переменные:

 

Полагаем в силу произвольности константы

 

Согласно начальному условию находим  с: с = 1.

Частное решение

 

 

 

280. Найти общее решение дифференциального уравнения

Полагаем

где р = р(y).

Т. к.

( иначе y , y   = 0, что противоречит условию)

• уравнение с разделяющимися переменными. Делим переменные

 Интегрируя последнее уравнение,  получаем общее решение

 

 

 

 

 

 

340. В резервуаре находится 100 л водного раствора, содержащего 10 кг соли. Вода вливается в резервуар со скоростью 3 л/мин, и смесь вытекает из него со скоростью 2 л/мин, причём концентрация поддерживается равномерной посредством перемешивания смеси. Сколько соли будет содержать резервуар по истечении 1 часа? Найти изменение dx количества соли в резервуаре за время dt.

 

                                                             Решение.

 Пусть x – количество соли в резервуаре в момент времени t и (x + dx) – количество соли в момент времени (t + dt). Т. к. смесь вытекает, то количество соли x уменьшается с течением времени и, следовательно, dx<0 при dt>0. Объём смеси в резервуаре в момент времени t равен

 

                                       V = 100 + 3t – 2t = 100 + t,

 

поэтому концентрация соли в момент времени t будет равна

 

Изменение количества соли – dx за бесконечно малый промежуток времени [t, t+dt] мы получим, если объём вытекшей за этот промежуток смеси 2dt умножим на концентрацию соли. Отсюда имеем дифференциальное уравнение

 

или

Кроме того, из условия задачи вытекает начальное условие

Разделяя переменные в уравнении  и интегрируя, последовательно получаем

и

т. е.

Из начального условия  находим С = 10⁴.

Закон изменения количества соли x в килограммах в зависимости от протекшего времени t в минутах даётся формулой:

Через 60 мин резервуар будет  содержать

кг соли.

 

20. Решить матричное уравнение относительно неизвестной матрицы X.

Дано:

                                                             Решение.

Находим произведение матриц:

элемент i – ой строки и k – го столбца матрицы произведения равен сумме произведений элементов i – ой строки первой матрицы на соответствующие элементы k – ого столбца второй матрицы. Получаем

Находим транспонированную матрицу  – меняем каждую её строку на столбец  с тем-же номером.

 

 

D^C – союзная к матрице D. Введём понятие союзной матрицы. Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица

 

 

 где A_ij- алгебраическое дополнение элемента a_ij данной матрицы. Алгебраическим дополнением элемента a_ij называется минор матрицы (см. задачу 40), взятый со знаком «плюс», если сумма i+j – чётное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечётная. Т.к. матрица D – квадратная 2-го порядка, то алгебраические дополнения – суть элементы этой матрицы, оставшиеся после вычёркивания i-ой строки и j-го столбца и взятые с соответствующим знаком.

Произведением матрицы на число  называется матрица, каждый элемент  которой умножен на это число. Получаем

При сложении матриц складываются соответствующие  их элементы:

 

Отсюда