Контрольная работа по "Математике"

1. вопрос

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средняя всегда обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами. В отличие от средней абсолютная величина, характеризующая уровень  признака отдельной единицы совокупности, не позволяет сравнивать значения признака у единиц, относящихся к разным совокупностям. Так, если нужно сопоставить  уровни оплаты труда работников на двух предприятиях, то нельзя сравнивать по данному признаку двух работников разных предприятий. Оплата труда выбранных  для сравнения работников может  быть не типичной для этих предприятий. Если же сравнивать размеры фондов оплаты труда на рассматриваемых  предприятиях, то не учитывается численность  работающих и, следовательно, нельзя определить, где уровень оплаты труда выше. В конечном итоге сравнить можно  лишь средние показатели, т.е. сколько  в среднем получает один работник на каждом предприятии. Таким образом, возникает необходимость расчета  средней величины как обобщающей характеристики совокупности.

Вычисление  среднего – один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отрицает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокупности, в то же время он игнорирует различия отдельных единиц. В каждом явлении  и его развитии имеет место  сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности  взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от количественных значений признака в каждом конкретном случае. В способности  абстрагироваться от случайности отдельных  значений, колебаний и заключена  научная ценность средних как  обобщающих характеристик совокупностей.

Для того, чтобы  средний показатель был действительно  типизирующим, он должен рассчитываться с учетом определенных принципов.

Остановимся на некоторых общих принципах  применения средних величин. 
1. Средняя должна определяться для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц. 
2. Средняя должна исчисляться для совокупности, состоящей из достаточно большого числа единиц. 
3. Средняя должна рассчитываться для совокупности, единицы которой находятся в нормальном, естественном состоянии. 
4. Средняя должна вычисляться с учетом экономического содержания исследуемого показателя.

5.2. Виды средних и  способы их вычисления

Рассмотрим  теперь виды средних величин, особенности  их исчисления и области применения. Средние величины делятся на два  больших класса: степенные средние, структурные средние.

К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.

В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.

Остановимся на степенных средних. Степенные  средние в зависимости от представления  исходных данных могут быть простыми и взвешенными.

2.вопрос

Средняя арифметическая величина представляет собой такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным. Для того чтобы исчислить среднюю арифметическую, необходимо сумму всех значений признаков разделить на их число.

Она применяется  в тех случаях, когда объем  варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков  отдельных ее единиц. Примером средней  арифметической может служить общий  фонд заработной платы - это сумма  заработных плат всех работников.

Средняя арифметическая простая  величина равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений. Она применяется в тех случаях, когда имеются несгруппированные индивидуальные значения признака.

Средняя арифметическая взвешенная - это средняя их вариант, которые повторяются различное число раз или имеют различный вес.

Средняя арифметическая – самый распространенный вид средней величины. Когда речь идет о средней величине без указания ее вида, подразумевается именно средняя арифметическая. Она исчисляется в тех случаях, когда объем усредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности. Например, общий фонд заработной платы – это сумма заработных плат отдельных работников, общее число рабочих в промышленности – это сумма их численностей на отдельных промышленных предприятиях, общий сбор урожая – сумма урожаев с каждого гектара площади и т.д. 
При исчислении средней арифметической выполняют две операции: 
• суммируют индивидуальные значения признаков 
• полученную сумму делят на число значений 
В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая может быть рассчитана по формуле простой или взвешенной средней. 
Обычно средняя арифметическая исчисляется по формуле взвешенной средней. Простую среднюю используют только в тех случаях, когда у каждой варианты частота равна единице или если частоты у всех вариант равны друг другу. 
По-видимому, хотя выше говорили о том, что между средними и относительными величинами есть разница, но в то же время средняя – это отношение двух абсолютных величин, т.е. по сути относительная величина. Только средняя эта должна иметь отношение к любой единице совокупности. Относительная величина этим свойством не обладает. 
• Среднюю арифметическую вычисляют на основе вариационных рядов. Для расчета средней в дискретных рядах варианты (значения которых известно) нужно умножить на частоту и сумму произведений разделить на сумму частот. 

3.вопрос

Основные  свойства средней  арифметической:

1. Если индивидуальные  значения признака, т.е. варианты, уменьшить

или увеличить  в i раз, то среднее значение нового признака соответственно уменьшится или увеличится в i раз.

2. Если все  варианты осредняемого признака  уменьшить или увеличить

на число  А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на это  же число.

3. Если веса  всех осредняемых вариантов уменьшить  или увеличить в k

раз, то средняя  арифметическая не изменится.

4. Сумма  отклонений отдельных значений  признака (вариант) от

средней арифметической равна нулю.

Прежде чем  выполнять расчет средней величины необходимо преобразовать интервальный ряд в дискретный. Для этого  находят середину интервала в  каждой группе. Ее определяют делением суммы верхней и нижней границы  пополам. 

Необходимо  знать свойства арифметической средней, что очень важно как для  ее использования, так и при ее расчете. Можно выделить три основных свойства, которые наиболее всего  обусловили широкое применение арифметической средней в статистико-экономических  расчетах.

Свойство  первое (нулевое): сумма положительных  отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме  отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены.

Свойство  второе (минимальное): сумма квадратов  отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное.

Свойство  третье: средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: при а = const.

Кроме этих трех важнейших свойств средней  арифметической существуют так называемые расчетные свойства, которые постепенно теряют свою значимость в связи с  использованием электронно-вычислительной техники:

• если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;
• средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого значения признака разделить на постоянное число;
• если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину.

4 вопрос

Средняя гармоническая. Эту среднюю называют обратной средней  арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.

Средняя гармоническая величина

Определяющим  свойством средней гармонической величины состоит в том, чтобы при осреднении оставалась неизменной сумма величин, обратных осредняемым.

Формула средней гармонической взвешенной величины применяется тогда, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам x совокупности, а представлена как произведение . Для того чтобы исчислить среднюю, необходимо обозначить , откуда . Теперь преобразуем формулу средней арифметической таким образом, чтобы по имеющимся данным x и m можно было исчислить среднюю. В формулу средней арифметической взвешенной вместо подставим m, а вместо f - отношение , и таким образом получим формулу средней гармонической взвешенной.

Средняя гармоническая простая величина применяется в тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице, т.е. ,

Средняя геометрическая величина