Контрольная работа по "Теории вероятности и математической статистике"
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 10 Марта 2013 в 21:00, контрольная работа
Описание
Задание 1. У денди 14 пар перчаток. Сколькими способами можно выбрать одну левую перчатку и одну правую так, чтобы они были не из одной пары?
Задание 2. Телефонный коммутатор имеет 200 контактов: 100 штекеров с номерами от 1 до 100 и 100 гнезд с теми же номерами. Выбираются два контакта. Сколько существует способов выбора: а) одного штекера и одного гнезда без учета их номеров; б) пары контактов с одним и тем же номером.
Задание 7. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Требуется найти:
а) дифференциальную функцию (плотность) распределения f(х); б) математическое ожидание М(х);
Работа состоит из 1 файл
Вариант № 5
Задание 1.
У денди 14 пар перчаток. Сколькими способами можно выбрать одну левую
перчатку и одну правую так, чтобы они были не из одной пары?
Решение
Левую перчатку из 14 всех левых перчаток можно выбрать 14 способами.
Правую перчатку, после того как выбрали левую (а значит, нам не подходит
правая из этой пары), из 13 оставшихся правых можно выбрать 13 способами.
Используя правило умножения, получаем искомое количество способов
14 13 182
N
Или, если учесть, что выбрав левую перчатку, мы выбираем всю пару, и
выбрав из оставшихся пар правую перчатку, мы выбираем всю пару, то задачу
можно свести к нахождению числа способов выбрать 2 разные пары перчаток из 14
без повторения. Искомый результат равен силу перестановок без повторения из 14
по 2:
2
14
14!
14!
14 13 182
(14 2)! 12!
N A
Задание 2.
Телефонный коммутатор имеет 200 контактов: 100 штекеров с номерами от 1
до 100 и 100 гнезд с теми же номерами. Выбираются два контакта. Сколько
существует способов выбора:
а)
одного штекера и одного гнезда без учета их номеров;
б)
пары контактов с одним и тем же номером.
Решение
а) Существует 100 способов выбрать один штекер, и существует 100
способов выбрать одно гнездо. Согласно правилу умножения число различных
способов выбора одного штекера и одного гнезда без учета их номеров равно:
100 100 10000
N
б) Существует 100 способов выбрать один штекер, и для каждого
выбранного штекера существует только 1 способ выбрать гнездо с таким же
номером. Согласно правилу умножения число различных способов выбора пары
контактов с одним и тем же номером равна:
100 1 100
N
Задание 3.
Сколько можно составить целых чисел, каждое из которых изображается
тремя различными цифрами?
Решение
Всего различных цифр – 10. Чтобы определить, сколько можно составить
целых чисел, каждое из которых изображается тремя различными цифрами,
определим число перестановок без повторения из 10 по 3:
3
10
10!
10!
8 9 10 720
(10 3)! 7!
A
Задание 4.
В одной урне находится 10 белых и 15 черных шаров, во второй -20 белых и 16
/черных. Из каждой урны наугад извлекают по одному шару. Найдите вероятность
того, что
a)
Оба шара одного цвета;
b)
Шары разных цветов,
Решение
Обозначим событие А – из первой урны взят белый шар, событие В
– из второй урны взят белый шар. Тогда событие A - из первой урны взят черный
шар, событие B - из второй урны взят черный шар.
Определим вероятности этих событий.
Число всех возможных исходов события А равно количеству всех
шаров в первой урне
10 15 25
n
Число способов вытащить 1 белый шар из 10 белых шаров в
первой урне равно числу белых шаров в этой урне:
10
m
Следовательно, вероятность события А:
10
( )
0.4
25
m
P A
n
Вероятность противоположного события (из первой урны
вытащили черный шар):
( ) 1
( ) 1 0.4 0.6
P A
P A
Число всех возможных исходов события В равно количеству всех
шаров во второй урне
20 16 36
n
Число способов вытащить 1 белый шар из 20 белых шаров во
второй урне равно числу белых шаров в этой урне:
20
m
Следовательно, вероятность события В:
20 5
( )
36 9
m
P B
n
Вероятность противоположного события (из второй урны
вытащили черный шар):
5 4
( ) 1
( ) 1
9 9
P B
P B
а) Событие С – оба шара одинакового цвета, т.е. из первой и
второй урны взяты белые шары или из первой и второй урны взяты
черные шары. Значит
C A B A B
.
Так как события независимы, то
( )
(
)
( ) ( )
( ) ( )
5
4 22
0.4
0.6
0.489
9
9 45
P C
P A B A B
P A P B
P A P B
б) Событие D – оба шара разного, т.е. из первой урны взяли белый,
из второй урны взяли черный шар, или, наоборот, из первой урны взяли
черный шар, из второй - белый. Значит
D A B A B
.
Так как события независимы, то
( )
(
)
( ) ( )
( ) ( )
4
5 23
0.4
0.6
0.489
9
9 45
P D
P A B A B
P A P B
P A P B
Задание 5.
В группе спортсменов 20 лыжников, 6 конькобежцев и 4 биатлониста.
Вероятность того, что лыжник займет на соревновании первое место, равна 0,9;
конькобежец - 0,7; биатлонист - 0,8. Найдите вероятность того, что спортсмен,
выбранный наудачу, займет первое место
Решение
Обозначим событие A – спортсмен займет первое место. Это событие связано
с предшествующими событиями (гипотезами): В
1
– спортсмен был лыжником, В
2
–
спортсмен был конькобежцем, В
3
– спортсмен был биатлонистом.
По условию вероятности событий В
i
:
1
20
2
( )
20 6 4 3
P B
2
6
1
( )
20 6 4 5
P B
3
4
2
( )
20 6 4 15
P B
Вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности
3
1
( )
( ) ( / )
i
i
i
P A
P B P A B
где ( / )
i
P A B - условная вероятность события А при условии, что событие В
i
произошло.
По условию условные вероятности появления выигрышного билета, если
произошло событие
i
B
1
( / ) 0.9
P A B
2
( / ) 0.7
P A B
3
( / ) 0.8
P A B
Тогда искомая вероятность события А
1
1
2
2
3
3
( )
( ) ( / )
( ) ( / )
( ) ( / )
2
1
2
3
7
16
90 21 16 127
0.9
0.7
0.8
0.8467
3
5
15
5 50 150
150
150
P A
P B P A B
P B P A B
P B P A B
Ответ:
127
( )
0.8467
150
P A
Задание 6.
Для проведения демографических исследований выбрали 60 семей и получили
следующие данные о количестве человек в семье:
N+1; 5; 3; 1; 4; 3; N+1; 2; 4; 3; N +2; N; 4; 3; 5; N +2; 2; 5; 3; N +1; 3; 2; 4; 5; 3; 3;
2; N; 2; 3; 4; N +1; N; 2; N ; 3; 4; 2; 3; N; N+1; N;2; 3; 4; 2; 3; N; N +1; 3; 4; 5; 6; 3; 5; N;
6; 2; 3; N
Составьте вариационный ряд. найдите среднее значение, дисперсию и среднее
квадратичное отклонение.
Постройте полигон относительных частот. Из полученных значений сделайте
вывод о демографической ситуации в городе.
Решение
При N=5 исходные данные примут вид
6; 5; 3; 1; 4; 3; 6; 2; 4; 3; 7; 5; 4; 3; 5; 7; 2; 5; 3; 6; 3; 2; 4; 5; 3; 3; 2; 5; 2; 3; 4; 6; 5;
2; 5; 3; 4; 2; 3; 5; 6; 5; 2; 3; 4; 2; 3; 5; 6; 3; 4; 5; 6; 3; 5; 5; 6; 2; 3; 5
Вычислим число групп в вариационном ряду, пользуясь формулой
Стерджеса
1 3.322 lg
1 3.322 lg60 6.91
k
n
Примем число групп равным
7
k
.
Зная число групп, рассчитаем величину интервала:
max
min
7 1
0.857 1
7
x
x
i
k
За начало первого интервала возьмем
1
min
1
1
0.5
2
2
i
a
x
Таким образом, получим интервалы:
0.5 1.5
,
1.5 2.5
,
2.5 3.5
,
3.5 4.5
,
4.5 5.5
,
5.5 6.5
,
6.5 7.5
Данные сведем в таблицу
Интервал
0,5-1,5 1,5-2,5 2,5-3,5 3,5-4,5 4,5-5,5 5,5-6,5 6,5-7,5 Итого
Частота
j
f
1
10
16
8
15
8
2
60
Середина
интервала
j
x
1
2
3
4
5
6
7
j
j
x f
1
20
48
32
75
48
14
238
2
j
j
x
f
1
40
144
128
375
288
98
1074
Накопленная
частота
j
f
1
11
27
35
50
58
60
Определим среднее значение
238
3.967
60
x
Определим дисперсию
2
2
2
1074
( )
3.967
2.165
60
D x
x
x
Среднее квадратичное отклонение
( )
( )
2.165 1.47
x
D x
Построим полигон относительных частот
Из полученных значений можно сделать вывод, что основная часть семей
имеет по 3 или по 5 человек в семье. Следовательно, демографическая ситуация в
городе достаточно благопрятная
Задание 7.
Случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x).
Требуется найти:
а)
дифференциальную функцию (плотность) распределения f(х);
б)
математическое ожидание М(х);
в)
дисперсию D(x);
г)
среднее квадратичное отклонение величины X
Построить графики интегральной и дифференциальной функций.
0,
( )
( ),
1.
при x a
F x
g x при a x b
при x b
( ) cos( )
g x
x
,
2
a
,
0
b
Решение.
В соответствии с исходными данными функция распределения F(x) имеет вид
0,
2
( )
cos( ),
0
2
1,
0
при x
F x
x при
x
при x
а)
дифференциальную функцию (плотность) распределения f(х) найдем как
производную функции F(x):
0,
2
( )
sin( ),
0
2
0,
0
при x
f x
x при
x
при x
б)
Найдем математическое ожидание М(х)
0
0
0
2
2
2
0
0
0
2
2
2
( )
0
( )
0
( sin )
sin
cos
cos
0 0 sin
0 sin(
)
1
sin
cos
2
M X
x f x dx
x f x dx
x
x dx
x
xdx
u x
du dx
x
x
xdx
x
dv
xdx
v
x
в)
Определим дисперсию D(x):
0
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
2
( )
0
( sin )
0
2
( sin )
1
cos
sin
cos
2 cos
1 0 0
2 cos
1
2 cos
1
2
2
cos
D X
x f x dx M X
x
x dx
M X
du
xdx
u x
x
x dx
v
x
dv
xdx
x
x
x
xdx
x
xdx
x
xdx
u
x
du
dx
dv
xdx
v
0
0
2
2
0
0
2
2
0
2
(2 sin
2sin
) 1
sin
(0 2 (
) sin(
)
2sin
) 1
2sin
1
2
2
2cos
1
2 cos0 2 cos(
)
1
2 0
1
3 0.1416
2
x
x
xdx
x
xdx
xdx
x
г)
Определим среднее квадратичное отклонение величины X
0.1416 0.376
X
D X
Построим графики интегральной и дифференциальной функций.
( )
F x
( )
f x
2
2
0
0
1
1
x
x
y
y
Информация о работе Контрольная работа по "Теории вероятности и математической статистике"