Контрольная работа по «Теория вероятности»

Таким образом эмпирическая функция распределения F*(х) имеет вид:

б) Выборочные числовые характеристики вычислим по формулам:

 – выборочное среднее;  – выборочная дисперсия

Для удобства произведения х_i×n_i и х²_i×n_i вычислим с помощью таблицы:

хi

ni

хi × ni

х2i × ni

 

   = 252,4 – 243,36 = 9,04

Исправленную дисперсию s² найдем по формуле  = 10,04

Исправленное среднее квадратическое отклонение s равно квадратному корню из исправленной дисперсии

= 3,17.

Тема 4     Задача 2:

Задано статистическое распределение выборки. Найти:

а) эмпирическую функцию  распределения F*(x);

б) точечные оценки параметров распределения: выборочное среднее, исправленную дисперсию, исправленное среднеквадратическое отклонение.

хi	–7	–5	–4	–1
ni	3	1	2	4

Решение:

а) Эмпирической функцией распределения F*(x) называется относительная частота того, что признак примет значение, меньшее заданного. Другими словами, для данного х эмпирическая функция распределения представляет накопленную частоту   F*(x) = = w_i^накопл

Для эмпирической функции  распределения рассчитаем относительные  частоты по формуле w_i= n_i /n , где n – объем выборки.  Вычисления занесем в таблицу:

xi	ni	wi= ni /n	F*
–7	3	0,3	0,3
–5	1	0,1	0,4
–4	2	0,2	0,6
–1	4	0,4	1,0
S	n = 10	1,0

Таким бразом эмпирическая функция распределения F*(х) имеет вид:

б) Выборочные числовые характеристики вычислим по формулам:

 – выборочное среднее;  – выборочная дисперсия

Для удобства произведения х_i×n_i и х²_i×n_i вычислим с помощью таблицы:

хi

ni

хi × ni

х2i × ni

 

   = 20,8 – 14,44 = 6,36

Исправленную дисперсию s² найдем по формуле  = 7,07

Исправленное среднее квадратическое отклонение s равно квадратному корню из исправленной дисперсии

= 2,66

 

 

Тема 5:    По выборке объемом п  определены выборочное среднее и исправленное среднее квадратическое отклонение s нормально распределенной случайной величины Х. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а и дисперсии s². Принять Р = 0,95.

Решение(1):

Доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания имеет вид:

.

По условию задачи величина t распределена по нормальному закону, поэтому ее значение для интегральной функции Лапласа будет составлять

Тогда доверительный интервал имеет вид:

Доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии имеет вид:

Для величины вероятность Р = (1 + 0,95)/2 = 0,975;

Для величины вероятность Р = (1 – 0,95)/2 = 0,025

По числу степеней свободы, равному п–1 = 15, находим из таблицы распределения c2

Находим = 6,26 и = 27,5

Тогда искомый доверительный интервал будет иметь вид:

Решение(2):

Доверительный интервал для оценки неизвестного математического  ожидания имеет вид:

.

По условию задачи величина t распределена по нормальному закону, поэтому ее значение для интегральной функции Лапласа будет составлять

Тогда доверительный интервал имеет вид:

Доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии имеет вид:

Для величины вероятность Р = (1 + 0,95)/2 = 0,975;

Для величины вероятность Р = (1 – 0,95)/2 = 0,025

По числу степеней свободы, равному п–1 = 24, находим из таблицы распределения c2

Находим = 12,4 и = 39,4

Тогда искомый доверительный интервал будет иметь вид:

Решение(6):

Доверительный интервал для оценки неизвестного математического  ожидания имеет вид:

.

По условию задачи величина t распределена по нормальному закону, поэтому ее значение для интегральной функции Лапласа будет составлять

Тогда доверительный интервал имеет вид:

Доверительный интервал для оценки неизвестной дисперсии имеет вид:

Для величины вероятность Р = (1 + 0,95)/2 = 0,975;

Для величины вероятность Р = (1 – 0,95)/2 = 0,025

По числу степеней свободы, равному п–1 = 9, находим из таблицы распределения c2

Находим = 2,7 и = 19

Тогда искомый доверительный интервал будет иметь вид:

Тема: 6.

Решение(1):

Итак, по двум независимым выборкам п_х = 9 и п_у = 10 извлеченным из нормальных генеральных совокупностей Х и Y найдены выборочные средние = 2,41 и =2,32. Генеральные дисперсии известны:

D(X)=

  и D(Y)=

Необходимо при уровне значимости a = 0,01 проверить нулевую гипотезу Н₀:M(X) = M(Y) о равенстве средних при конкурирующей гипотезе  Н₁: M(X) ¹ M(Y).

Найдем наблюдаемое  значение критерия:

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид Н₁: M(X) ¹ M(Y), поэтому критическая область двусторонняя. Найдем правую критическую точку :

. По таблице интегральной  функции Лапласа находим

z_кр = 2,58. Так как z_набл < z_кр , то нулевая гипотеза о равенстве средних подтверждается. Другими словами, выборочные средние различаются не значимо.

 

 

Решение(6):

Итак, по двум независимым  выборкам п_х = 25 и п_у = 25 извлеченным из нормальных генеральных совокупностей Х и Y найдены выборочные средние =144,87 и =140,11. Генеральные дисперсии известны:

D(X)=

  и D(Y)=

Необходимо при уровне значимости a = 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀:M(X) = M(Y) о равенстве средних при конкурирующей гипотезе  Н₁: M(X)>M(Y).

Найдем наблюдаемое  значение критерия:

По условию, конкурирующая  гипотеза имеет вид Н₁: M(X)>M(Y), поэтому критическая область правосторонняя. Критическое значения критерия z найдем из равенства по таблице интегральной функции Лапласа:

 Þ z_кр = 1,64

Так как z_набл > z_кр , то нулевую гипотезу необходимо отвергнуть. Другими словами, выборочные средние различаются значимо.

 

Тема 7:

Решение 6:

В результате проведения n опытов полученны n пар значений (х_i; y_i). Допуская, что х і у связанны линейной зависимостью y = kx+b, методом наименьших квадратов найти коэффициенты k i b , а также выборочный коэффициент корреляции r_в. Проверить значимость корреляционной зависимости. Принять уровень значимости a = 0,1.

хi	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
yi	12,4	14,7	18,2	21,1	23,2

n = 5

Решение: Параметры k и b , а так же выборочный коэффициент корреляции найдем по таким формулам: ;     (1)        .     (2)

(3)

 

 

 

Вычислим необходимые  суммы, пользуясь следующей расчетной  таблицей:

хi

yi

хi × yi

хi2

yi2

 тогда

выборочный коэффициент корреляции равен »0,999,

Выборочный коэффициент корреляции r служит для оценки силы линейной корреляционной связи: чем ближе |r| к единице, тем сильнее связь; чем ближе |r| к нулю, тем связь слабее.

Видим, что в нашем  случае линейная корреляционная связь  очень сильная.

 

Так как Выборочный коэффициент  корреляции r положителен, то увеличение одной величины приводит к увеличению другой.

 

Для проверки статистической значимости корреляционной зависимости  величин воспользуемся критерием Стьюдента:

.

Для уровня значимости a = 0,1 и числа степеней свободы равным n–2 = 3 по таблице в учебнике, найдем критическое значение критерия Стьюдента 
t_a;(n–2) =  t_{0,1; 3} = 2,35.

 

Так как, t_расчет > t_a(n–2) , то принимаем гипотезу Н. Вывод: корреляционная связь между признаками статистически значимая.