Контрольная работа по "Высшая математика"

Федеральное агентство по образованию 

Новосибирский государственный  университет экономики и управления – «НИНХ»

Кафедра высшей математики

 

Контрольная работа по учебной дисциплине

«Математика. Высшая Математика»

 

Специальность:

Номер зачетной книжки:

Студент:

Номер группы:

Номер варианта контрольной работы:

Дата регистрации институтом: «_____» _______________ 2012 г.

Дата регистрации кафедрой: «_____» __________________ 2012 г.

Преподаватель: ________________________________________________

(фамилия, имя, отчество)

 

 

 

 

 

 

 

 

2012 год

1

Вариант 1

Задание 1.

1. Длина ребра равна модулю вектора .

Найдем сначала координаты .

Модуль вектора  равен: .

2. Косинус угла А найдем по формуле: .

Так как  ; , ; ; , то .

Значит, .

3. Прямая СК, перпендикулярная АВ, проходит через точку С(8;3) и имеет нормалью вектор . Уравнение высоты СК: .

Длину высоты СК найдем по формуле  расстояния от точки до прямой, предварительно найдя уравнение прямой АВ:

.

Следовательно, .

4. Точку пересечения высот как точку пересечения высот СК и ВЕ.

Найдем уравнение высоты ВЕ. Так  как  и проходит через точку В, то ее уравнение: .

Пусть СК и ВЕ пересекаются в точке Р, тогда ее координаты найдем, решив систему уравнений:

 

2

.

5. Так как СМ - медиана, то М- середина АВ, , , .

Уравнение медианы СМ: .

6. Составим систему неравенств, определяющих ΔАВС.

Прямая АВ имеет уравнение  . Подставим в него координаты точки С(8;3): , значит, ΔАВС лежит в полуплоскости .

Прямая АС имеет уравнение: . Подставим в него координаты точки В(2;0): , значит, ΔАВС лежит в полуплоскости .

Прямая ВС имеет уравнение: . Подставим в него координаты точки А (5;4): , значит, ΔАВС лежит в полуплоскости .

Система неравенств, определяющих ΔАВС:

7. Сделаем чертеж.

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Задание 2.

Векторы образуют базис четырехмерного пространства, если . Вычислим определитель. Для этого получим в четвертой строке три нуля: прибавим второй столбец, умноженный на 2, к четвертому:

.

Значит, векторы образуют базис четырехмерного пространства.

Для нахождения координат вектора  в базисе , разложим этот вектор по :

.

4

Найдем  - координаты вектора в базисе .

Решим систему методом Гаусса:

 

Поменяем местами второе и первое уравнение системы, умноженное на (-1):

Умножим первое уравнение на (-2) и  прибавим ко второму, а затем умножим  первое уравнение на (-1) и прибавим к третьему:

Умножим второе уравнение  на (-1) и прибавим к четвертому, умноженному  на 5:

Умножим третье уравнение  на 5 и прибавим к четвертому, умноженному  на 4:

5

Вектор  имеет координаты (1;-2;0;-1) в базисе .

 

Задание 3.

а) ,

б) ,

.

в) ,

.

г) ,

.

 

 

6

Задание 4.

.

1. Область определения функции.

В нашем примере  это множество  .

2.Асимптоты.

Вертикальные  асимптоты  , так как .

Если  - наклонная асимптота, то

, .

Значит, - горизонтальная асимптота.

3. Четность и нечетность функции.

Функция не обладает свойствами четности и нечетности. Следовательно, график функции не симметричен  ни относительно начала координат, ни относительно оси Оу.

3. Периодичность функции.

Данная функция  непериодическая.

4. Непрерывность функции.

На всей области  определения данная функция непрерывна.

5. Интервалы монотонности и точки экстремума.

Вычислим  производную функции и найдем критические точки.

7

. Производная существует при  любых  .

Решим уравнение  .

Следовательно, точки  критические.

Результаты  исследования на монотонность и экстремум  представим в виде таблицы:

х				0		1
у'	-	0	+	0	-	не сущ.	-
у	убывает	-2,97 min	возрастает	0 max	убывает	не сущ.	убывает

 

6. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Найдем  производную  второго порядка от рассматриваемой  функции.

.

Вторая производная  существует при любых  .

Найдем точки, где у" = 0: .

Результаты  исследования на выпуклость и точки  перегиба представим в виде таблицы:

 

 

8

 

х		-3,7		-0,3		1
у''	-	0	+	0	-	не сущ.	+
у	выпукла	-2,64 перегиб	вогнута	-0б8 перегиб	выпукла	не сущ.	вогнута

 

7. Точки пересечения с осями координат.

С осью Оу: при х=0 ,

С осью Ох: при у=0 ,

 

8. График функции.

 

 

 

9

Задание 5.

а) ;

Проверка: .

б) ;

Проверка: .

в) ,

Проверка: .

г) Пусть  . Так как подынтегральная дробь - неправильная, то выделим целую часть:

Получим: .

Разложение на элементарные дроби  имеет вид:

.

Если привести дроби из данного  разложения к общему знаменателю, то он совпадет со знаменателем исходной подынтегральной функции, а числители 

 

10

подынтегральных функций в левой  и правой частях уравнения будут  равны, т.е.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х последнего уравнения, получим систему уравнений

решение которой имеет вид: .

Подставляя найденные значения коэффициентов, имеем

Проверка:

.

 

Задание 6.

Найдем точки пересечения парабол  , :

; тогда 

 

11

В данном случае, так как параболы обращены выпуклостью вниз, , то по формуле , получим:

 кв.ед.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

Список используемой литературы

1.Шипачев В.С. Высшая математика. - М: Высшая школа,1998.

2. Сборник задач по математике (для ВУЗов): линейная алгебра  и основы математического анализа  / под ред. А.В. Ефимова, Б.П.  Демидовича. - М: Наука, 1986.

3. Владимиров Ю.Н. Множества,  отображения, функции: учеб. -метод. пособие. - Новосибирск: НГАЭиУ, 2001.

4. Владимиров Ю.Н. Аналитическая геометрия: краткий справочник. - Новосибирск: НГАЭиУ, 2001.

         5. Владимиров Ю.Н. Линейная алгебра: краткий справочник. - Новосибирск: НГАЭиУ, 2001.

         6. Владимиров Ю.Н. Математический анализ функций одной вещественной переменной: краткий справочник. - Новосибирск: Сатрен, 1998.

        7. Владимиров Ю.Н. Математический анализ функций нескольких вещественных переменных: учеб. пособие. Новосибирск: НГАЭиУ, 2004.

8. Владимиров Ю.Н., Гвоздев С.Е., Каленкович Е.Е. и др. Высшая математика: учебно-методический комплекс (для заочной формы обучения). - Новосибирск: НГУЭУ, 2005.

9. Каленкович Е.Е. Аналитическая геометрия. Индивидуальное расчетно-графические задание и методические указания по его выполнению. - Новосибирск: НГАЭиУ, 1999.

        10. Каленкович Е.Е. Интегралы. Индивидуальное расчетно-графическое задание и методические указания по его выполнению. - Новосибирск: НГАЭиУ, 2000.