Содержание 

Введение……………………………………………………………………………..3

1. Погрешности квадратурных формул при вычислении определенных интегралов………………………………………………………………………….6

      1.1 Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа……………………………………..…6

2. Простейшие  квадратурные формулы……………………………………………8

      2.1 .Общая формула Симпсона (параболическая  формула) ……………………………………………………………………………………...…8

          2.2 Квадратурная формула Чебышева…………………………………….…8

Заключение…………………………………………………………………………10

Список  использованных источников………………………………………….….11

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

           

      Квадратурные формулы - формулы, служащие для приближённого вычисления определённых интегралов по значениям подынтегральной функции в конечном числе точек.

      Требуется  найти  определенный  интеграл  

       I =  

по  квадратурной  формуле  Чебышева. 

       Рассмотрим, что представляет из себя вообще квадратурная формула, и как можно с ее помощью  вычислить приближенно интеграл.

       Известно, что определенный интеграл функции типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (Рис. 1).

Рисунок  1 – Криволинейная трапеция 

Если f(x) непрерывна на отрезке [a, b],  и известна ее первообразная F(x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть  вычислен по, известной всем, формуле Ньютона - Лейбница

=   F(b) -  F(a)

         где    F’(x)  =  f(x), первообразная.

       Однако во многих случаях F(x) не может быть найдена, или  первообразная получается очень  сложной для вычисления.

Кроме того, функция часто задается таблично. Поэтому большое значение  приобретает приближенное и в первую очередь численное интегрирование.

         Задача численного интегрирования  состоит в нахождении  приближенного  значения интеграла  по заданным или вычисленным значениям подынтегральной функции f(x) в  некоторых точках ( узлах )  отрезка  [ a, b].

             Численное определение однократного  интеграла называется  механической квадратурой, а соответствующие формулы численного  интегрирования - квадратурными .

    Заменяя подынтегральную функцию каким-либо интерполяционным многочленом, мы получим квадратурные    формулы вида

           

                      

  где

           x_k -  выбранные узлы  интерполяции;

           A_k -  коэффициенты,  зависящие только  от  выбора узлов,  но                 

                   не  от  вида  функции  (k=0,1,2,........, n).

      R - остаточный член, или погрешность  квадратурной формулы.

      Отбрасывая остаточный член R, мы  совершаем погрешность  усечения.

При расчете  к ней добавляются еще различные погрешности  округления.

Разобьем  отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей  системой точек 

                             x_i= x_o+ i^..h;         ( i = 0,1,2,......,n)

                             x_o= a;  x_n= b; 

                        h= (b-a)/n ;

   и  вычислим подинтегральную  функцию в полученных узлах 

         y_i= f(x_i) ;         ( i = 0,1,2,......,n). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1 Погрешности квадратурных  формул при вычислении  определенных интегралов 

      1.1 Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа

      Пусть для y=f(x) известны в n+1 точках X0,X1,X2..Xn промежутка [a,b] соответствующие значения f(xi)=yi (i=0,1,2..n). Требуется приближенно найти 

        

      По  заданным значениям Yi построим полином  Лагранжа. Заменим f(x) полиномом Ln(x). Тогда 

        

      где Rn(f) – ошибка квадратурной формулы. Отсюда, воспользовавшись выражением для Ln(x), получаем приближенную квадратурную формулу:

      

        Для вычисления коэффициентов  Аi заметим что: 

      1.коэффициенты Ai при данном расположении узлов  не зависит от выбора функции  f(x);

      2.для  полинома степени n последняя  формула точная.

      Полагая y=xK (k=0,1,2..,n), получим линейную систему из n+1 уравнений:

        

      где 

      

      (k=0,1,..,n), из которой можно определить  коэффициенты А0,А1,..,АN.

      Определитель  системы есть определитель Вандермонда 

      

      Заметим, что при применении этого метода фактическое построение полинома Лагранжа Ln(x) является излишним. Простой метод подсчета погрешности квадратурных формул разработан С.М. Никольским.

      Теперь  рассмотрим   несколько   простейших   квадратурных   формул. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       2. Простейшие квадратурные формулы 

      2.1 .Общая формула Симпсона (параболическая формула)

      Пусть n=2m есть четное число и yi=f(xi) (i=0,1,2...n) - значения функции y=f(x) для равноотстоящих точек а=x0,x1, ... ,xn=b с шагом 

      

      Применив  формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x0,x2], [x2,x4] ... [x2m-2,x2m] длины 2h и введя обозначения:

      s₁=y₁+y₂+ ... +y_2m-1

      s₂=y₂+y₄+ ... +y_2m

      получим обобщенную формулу Симпсона:

         

      Остаточный  член формулы Симпсона в общем  виде:

        

      где  x_k  I (x_2к-2,x_2к)

 
 
 

2.2 Квадратурная формула Чебышева

Рассмотрим  квадратурную формулу вида:

    

функцию f(x) будем исать в виде когда f(x) многочлен вида f(x)=a_o+a₁x+...+a_nx_n. Проинтегрировав, преобразовав и подставив значения многочлена в узлах 

f(x₁)=a₀+a₁x₁+a₂x₁₂+a₃x₁₃+...+a_nx_1n 

f(x₂)=a₀+a₁x₂+a₂x₂₂+a₃x₂₃+...+a_nx_2n 

f(x₃)=a₀+a₁x₃+a₂x₃₂+a₃x₃₃+...+a_nx_3n 

. . . . . . . . . . . . . . . . 

f(x_n)=a₀+a₁x_n+a₂x_n2+a₃x_n3+...+a_nx_nn 

получим формулу Чебышева

                              

                  

Заключение

 

       Таким образом, очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное.

       Чтобы максимально приблизиться к достоверному значению интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись расчет. Так же очень важно то, какой будет взят шаг интегрирования.

       Хотя  численные методы и не дают очень  точного значения интеграла, но они  очень важны, так как не всегда можно решить задачу интегрирования аналитическим способом.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Список использованных источников

      1. Ракитин Т.А., Первушин В.А.  «Практическое руководство по численным методам с приложением программ на языке Basic»

      2. Крылов В.И.  «Приближенные вычисления интегралов» - М. : Физмат.

      3. Демидович  и Марон  «Основы вычислительной математики»

      4. Копченова и Марон  «Вычислительная математика в примерах и задачах»

      5. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С. Программирование  на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС. Минск.: 1989 г.