Лекция по "Математике"

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 29 Декабря 2011 в 00:24, лекция

Описание

Что такое математика? Математика - это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. При этом в круг изучаемых математикой отношений входят отношения между элементами произвольной природы и все разнообразные формы пространств.

Скачать (53.83 Кб) Сколько стоит заказать работу?
Работа состоит из  1 файл

konspekt.docx

— 56.53 Кб (Скачать документ)
  1. Что такое математика? Математика  - это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. При этом в круг изучаемых математикой отношений входят отношения между элементами произвольной  природы и все разнообразные формы пространств.
    1. Зачем изучать математику? Имеется много причин для того, чтобы изучать математику. И важнейшая из них та, что математика является предметом, на котором можно научиться думать. Уроки математики призваны научить строить умозаключения, делать выводы, развивать абстрактное мышление, наконец. В любом деле все эти умения будут востребованными. Думающего человека сложнее обмануть, он предвидит последствия своих действий, он склонен отвечать за их результат. Развитая логика способна помочь человеку в жизни. Да и жить думающему человеку интереснее.
    2. Что дает владение математикой?  Владение математикой дает людям мощные методы изучения и познания окружающего их мира, методы исследования как теоретических, так и практических проблем. Хорошо известно высказывание Леонардо да Винчи, который по этому поводу писал: «Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства».
    3. Чем отличается математика от других наук? Естественные науки изучают окружающий нас мир, гуманитарные – человеческое общество. Математика же, в отличие от всех других наук, изучает самое себя. Именно это является самым существенным отличием математики от всех других наук, причем оно более существенно, чем отличие естественных наук от гуманитарных. Если в физике, друг естественных и гуманитарных науках, критерием истинности является совпадение теоретических и экспериментальных результатов, то критерием истинности математического рассуждения является лишь его логическая безукоризненность. Дело в том, что математика строится чисто умозрительно и не в какой лаборатории, кроме человеческой головы, не нуждается.
    4. Взаимоотношения естественных и гуманитарных наук. Мы являемся свидетелями как бы сращивания естественных и гуманитарных наук, одним из основных стимулов которого является математизация гуманитарных наук. Именно использование математического моделирования, дедуктивных методов и специального математического аппарата сближает гуманитарные и естественные науки.
    5. В чем состоят важнейшие задачи современной математики? В современный мир математика входит не только как метод, позволяющий компенсировать несовершенство наших органов чувств, но и как метод расширения того знания, которое человек способен обрести об окружающем мире. Опираясь на человеческий разум и способность человека к рассуждениям, математика  порождает знания о реальном мире. Одна из важнейших задач математики сегодняшнего дня – усиление интеллектуальных возможностей человека; неотъемлемым инструментом решения этой задачи является компьютерная техника.
  2. Историко-философские аспекты развития математики. Математики много раз меняли представление о своей науке и делали это каждый раз под давлением определенных факторов, которые заставляли их отказываться от устоявшихся привычных воззрений. В процессе своего становления и развития она прошла долгий и сложный путь.
    1. Содержание Египетской и Вавилонской математики. Первые дошедшие до нас источники, содержащие арифметические и геометрические задачи датируются XX-XVIIIвв. до н. э. Их относят к Древнему Египту и Вавилону, поскольку только здесь использовались носители (пергамент и обожженные глиняные таблички), обеспечившие сохранность нанесенной на них информации на века. Египетская математика представляла собой исключительно систему правил, подчиненную практическим задачам, скомбинированных по назначению. Она имела целью облегчить календарные расчеты, распределение урожая, организацию общественных работ и т.п. Отличительной чертой науки того периода была статичность. Научные сведения сохранялись в неизменном виде века и тысячелетия. Обособленность же отдельных районов и целых стран приводила еще и к тому, что сделанные где-либо открытия могли долгое время оставаться неизвестными в других местностях. Важным этапом в развитии древней математики явился вавилонский период (с XIX в. до н. э.). Здесь задачи усложняются в своей математической основе, они комбинируются по математическому типу, появляются задачи, не связанные непосредственно с практикой. Вавилоняне обладали высокоразвитой арифметикой как искусством счета, была тщательно разработана система записи чисел и алгоритмы для производства действий над ними. Задачи имели в основном прикладной характер, однако встречались и учебные задачи. Вместе с тем доказательной системы выработано еще не было, встречались только предписания типа «делай то-то, делай так-то».
    2. Особенности Греческой математики. Период Евклида, его заслуга перед наукой. Пифагор и его учения. Формирование основ математической науки относится к временам Древней Греции. Именно здесь в VII – VI в. до н. э. наблюдается революционный темп развития математики. Набор практических правил превращается в науку, в систему внутренне связанных идей и методов. Важнейшая самобытная особенность древних греков состояла именно в их сознательном стремлении расположить математические доказательства в такие цепочки, чтобы переход от одного звена к следующему не оставлял места сомнениям и заставлял всех с ним согласиться. Одним из самых известных ученых математиков древности являлся Евклид из Александрии, работы которого имеют непреходящее  значение. Биографические данные о Евклиде крайне скудны. К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в Комментариях Прокла к первой книге Начал Евклида. Отметив, что «писавшие по истории математики» не довели изложение развития этой науки до времени Евклида, Прокл указывает, что Евклид был старше Платоновского кружка, но моложе Архимеда и Эратосфена и «жил во времена Птолемея I Сотера», «потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели Начала; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии».Дополнительные штрихи к портрету Евклида можно почерпнуть у Паппа и Стобея. Папп сообщает, что Евклид был мягок и любезен со всеми, кто мог хотя в малейшей степени способствовать развитию математических наук, а Стобей передаёт ещё один анекдот о Евклиде. Приступив к изучению геометрии и разобрав первую теорему, один юноша спросил у Евклида: «А какая мне будет выгода от этой науки?» Евклид подозвал раба и сказал: «Дай ему три обола, раз он хочет извлекать прибыль из учёбы».Некоторые современные авторы трактуют утверждение Прокла — Евклид жил во времена Птолемея I Сотера — в том смысле, что Евклид жил при дворе Птолемея и был основателем Александрийского Мусейона. Следует, однако, отметить, что это представление утвердилось в Европе в XVII веке, средневековые же авторы отождествляли Евклида с учеником Сократа философом Евклидом из Мегар. Анонимная арабская рукопись XII века сообщает: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», ученый старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира…». Арабские авторы считали, что Евклид жил в Дамаске и издал там «Начала» Аполлония. До наших времен дошли все 13 книг его «Начал», где изложение математики той эпохи построено в виде строго-логических выводов, теорем, полученных из систем определений и постулатов (аксиом). На этом основании мы считаем Евклида родоначальником аксиоматического (дедуктивного) построения математики. Греки увидели в математике выражение глубинной сущности мира, нечто связанное с истиной и неизменной природой вещей. Они мистифицировали математику до того, что Пифагор выместил свой основной тезис фразой «все есть число». Пифагор Самосский (др. греч Πυθαγόρας ὁ Σάμιος, лат. Pythagoras; 570—490 гг. до н. э.) — древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев. Историю жизни Пифагора трудно отделить от легенд, представляющих его в качестве совершенного мудреца и великого посвящённого во все таинства греков и варваров. Ещё Геродот называл его «величайшим эллинским мудрецом».Основными источниками по жизни и учению Пифагора являются сочинения философа-неоплатоника Ямвлиха (242—306 гг.) «О Пифагоровой жизни»; Порфирия (234—305 гг.) «Жизнь Пифагора»; Диогена Лаэртского (200—250 гг.) кн. 8, «Пифагор». Эти авторы опирались на сочинения более ранних авторов, из которых следует отметить ученика Аристотеля Аристоксена (370—300 гг. до н. э.) родом из Тарента, где сильны были позиции пифагорейцев. Таким образом, самые ранние известные источники об учении Пифагора появились лишь 200 лет спустя после его смерти. Сам Пифагор не оставил сочинений, и все сведения о нём и его учении основываются на трудах его последователей, не всегда беспристрастных. В честь Пифагора назван кратер на Луне. Он пришел к понимаю числа как универсальной основы всех вещей через музыку: «Любое различие в звучании определяется числовым отношением», что потом было строго доказано. Последователи Пифагора, пифагорейцы, считали, что строгие доказательства могут быть только арифметическими. Для них строгость и точность результата выражали саму сущность математики.
    3. Древнеиндийский и последующие периоды элементарной математики. Особенности. Достижения. Исторический период. После упадка античного общества центр развития математики сместился в Индию. Наиболее известным достижением древнеиндийских ученых является наша десятичная позиционная система исчисления (VI в. н. э.). Позднее, с возникновением Ислама, математический центр снова перемещается: теперь в страны ближнего Востока и средней Азии. В трудах арабских математиков переплелись достижения греческих и индийских ученых. К наиболее известным работам того времени следует отнести книгу Мухаммеда ибн Муса ал-Хорезми под названием «Хисаб ал-джабр ва-л-мукабала», что, вероятно, означало наука об уравнениях. Именно её латинский перевод породил название науки «алгебра». Эта книга наряду с «Началами» Евклида создала базу для развития математики в Западной Европе.
    4. Возникновение современной математики: период, достижения, выдающиеся математики. Считается что современная математика возникла в XVIIв. как наука, органически связанная с созданием математического естествознания, имеющего целью объединить течение отдельных природных явлений действием общих, математически сформулированных законов природы. Рене Декарт заложил основы аналитической геометрии, объединив алгебру начала XVIIв. с геометрией древних греков. В знаменитой его работе «Теоиетрия» содержится изложение основ координатного метода, что положило начало аналитической геометрии. Благодаря появлению декартовой переменной  величины в математику вошло движение. Стало необходимым появление  дифференциального и интегрального исчисления. И такое исчисление было создано И. Ньютоном и Г. Лейбницем, что ознаменовало революцию в математике и в науке в целом.
    5. В какой период научная деятельность стала профессией? В XVIIIв. основная деятельность математиков сосредотачивалась на решении проблем математического анализа и теории вероятностей. Имена таких корифеев, как братья Бернулли, Ж. Даламбер, Ж. Лагранж, П. Лаплас, Л. Эйлер встречаются во всех учебниках по математике и известны теперь каждому студенту. Именно в это время научная работа математика становится самостоятельной профессией.
    6. Значение исследований Н. И. Лобачевского в истории развития геометрии. Математические  достижения. В начале XIX века в науке произошло событие, перевернувшее взгляды, господствующие в математике со времен её возникновения. Русский ученый Н. И. Лобачевский показал, что аксиомы Евклида о параллельных независима от других аксиом, то есть невыводима из них. Сохранились студенческие записи лекций Лобачевского (от 1817 года), где им делалась попытка доказать пятый постулат Евклида, но в рукописи учебника «Геометрия» (1823) он уже отказался от этой попытки. В «Обозрениях преподавания чистой математики» за 1822/23 и 1824/25 годы Лобачевский указал на «до сих пор непобедимую» трудность проблемы параллелизма и на необходимость принимать в геометрии в качестве исходных понятия, непосредственно приобретаемые из природы.7 февраля 1826 года Лобачевский представил для напечатания в «Записках физико-математического отделения» сочинение: «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» (на французском языке). Но издание не осуществилось. Рукопись и отзывы не сохранились, однако само сочинение было включено Лобачевским в его труд «О началах геометрии» (1829—1830), напечатанный в журнале «Казанский вестник». Это сочинение стало первой в мировой литературе серьёзной публикацией по неевклидовой геометрии, или геометрии Лобачевского. Лобачевский считает аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. В качестве альтернативы предлагает другую аксиому: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную. Разработанная Лобачевским новая геометрия не включает в себя евклидову геометрию, однако евклидова геометрия может быть из неё получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна. Уже в первой публикации Лобачевский детально разработал тригонометрию неевклидова пространства, дифференциальную геометрию (включая вычисление длин, площадей и объёмов) и смежные аналитические вопросы. Однако научные идеи Лобачевского не были поняты современниками. Его труд «О началах геометрии», представленный в 1832 году советом университета в Академию наук, получил у М. В. Остроградского отрицательную оценку. В иронически-язвительном отзыве на книгу Остроградский откровенно признался, что он ничего в ней не понял, кроме двух интегралов, один из которых, по его мнению, был вычислен неверно (на самом деле ошибся сам Остроградский). Среди других коллег также почти никто Лобачевского не поддержал, росли непонимание и невежественные насмешки. Венцом травли стал издевательский анонимный пасквиль, появившийся в журнале Ф. Булгарина «Сын отечества» в 1834 году: «Для чего же писать, да ещё и печатать, такие нелепые фантазии?… Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики, написал с какой-нибудь серьёзной целью книгу, которая немного бы принесла чести и последнему школьному учителю? Если не учёность, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего… Новая Геометрия… написана так, что никто из читавших её почти ничего не понял.». Судя по содержанию этой заметки, её писал человек с математическим образованием, вероятнее всего, кто-то из окружения Остроградского (в статье содержатся те же необоснованные критические замечания, что и в отзыве Остроградского). Степень участия в затее самого Остроградского историкам выяснить не удалось.Попытка Лобачевского напечатать в том же журнале ответ на пасквиль была проигнорирована редакцией. Несмотря на осложнения, Лобачевский, уверенный в своей правоте, продолжал работу. В 1835—1838 он опубликовал в «Учёных записках» статьи о «воображаемой геометрии», а затем вышла наиболее полная из его работ «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных».Не найдя понимания на Родине, Лобачевский попытался найти единомышленников за рубежом. В 1837 году статья Лобачевского «Воображаемая геометрия» на французском языке (Géométrie imaginaire) появилась в авторитетном берлинском журнале Крелле, а в 1840 году Лобачевский опубликовал на немецком языке небольшую книгу «Геометрические исследования по теории параллельных», где содержится чёткое и систематическое изложение его основных идей. Два экземпляра получил Карл Фридрих Гаусс, «король математиков» той поры. Как много позже выяснилось, Гаусс и сам тайком развивал неевклидову геометрию, однако так и не решился опубликовать что-либо на эту тему. Ознакомившись с результатами Лобачевского, он восторженно отозвался о них, но лишь в своих дневниках и в письмах близким друзьям. Например, в письме астроному Г. Х. Шумахеру (1846) Гаусс так оценил труд Лобачевского: «Вы знаете, что уже 54 года (с 1792 г.) я разделяю те же взгляды (с некоторым развитием их, о котором не хочу здесь упоминать); таким образом, я не нашёл для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шёл я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски, в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое, наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение.»
    7. Роль  Давида Гильберта в развитии математики. К началу XX века в основу математики было положено понятие непротиворечивости системы высказываний, основанных на неявных определениях, что радикальным образом отличалось от всех предшествующих точек зрения. Утверждалось, что всякая формально-аксиоматическая теория может строиться по чистым законам логики, без каких либо ссылок на внешний смысл. Одним из основателей такого мировоззрения на математику стал Д. Гильберт. Суть его формализма заключается в следующем. Математика, в отличие от, например, физики или химии, есть наука точная. Она находится над опытными науками. Математика – это набор формальных моделей для теоретического знания, которые связаны с опытом через другие науки. Д. Гильбертом была предпринята попытка обоснования всей математической теории. В Основе его учения лежало положение о том, что обоснование математической теории является исключительно обоснованием её непротиворечивости. Он считал, что математика должна быть обоснована в целом. Построение же любой математической теории должно реализовываться в 2 этапа. Вначале в логических символах производится запись аксиом и явно формулируются допустимые правила логики. Затем требуется доказать непротиворечивость этой системы аксиом вместе с её логическими правилами на чисто синтаксическом уровне.
    8. Современные философские взгляды на математику. В настоящее время сформировались следующие основные взгляды на математическую науку:  ценность математических теорий состоит в их способности выполнять функцию вывода, именно поэтому перед математикой выдвигается требование непротиворечивости; единая программа обоснования математики невозможна, имеется множество путей, каждый из которых имеет определенную ценность; математика столь же далека от своей окончательной обоснованности, как и всякое другое знание.
  3. Практические приложения математики. Применение математической теории к решению прикладных задач - еще одно направление формирования мировоззрения о месте и роли математики в общественной практике людей. Через решение прикладных задач реализуется политехнический принцип обучения математике. Целенаправленное использование прикладных задач способствует ориентации на различные профессии, осуществлению связи обучения математике с жизнью. Говоря о современных приложениях математики к решению практических задач, нельзя обойти и роль электронновычислительных машин.

Информация о работе Лекция по "Математике"