Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Задачи

    Министерство  образования Российской Федерации

    Хабаровская государственная академия экономики  и права

    Кафедра математика и математические методы в экономике 
 
 
 
 

    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

    по  дисциплине

    «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

    Вариант №8 
 
 
 

    2010 г.

 

    

    План  работы

    Задание №1 3

    Задание №2 4

    Задание №3 7

    Задание №4 9

    Задание №5 10

    Задание №6 11

    Задание №7 12

    Задание №8 13

    Задание №9 15

    Задание №10 16

    Ответы  на экзаменационные билеты 17 

 

     Задание 1. Найти произведение заданных матриц А  и В.

              

    Решение:

    Произведением матрицы А = (а_ij) _m×n на матрицу В=(b_jk) _n×s называется матрица С = АВ размерности m×s, элементы С_ik которой находятся по формуле C_ik = a_i1b_1k + … + a_inb_nk = (i =1,…,m; k = 1,…,s).

      
 
 

 

     Задание 2. Решить систему  линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса.

    

    Решение:

    

    а) методом Крамера

    Система линейных алгебраических уравнений называется крамеровской, если число m уравнений совпадает с числом n неизвестных и определитель ∆(А) квадратной матрицы А данной системы отличен от нуля. Определитель ∆(А), называемый определителем системы, имеет вид

                                                  

    Каждая  крамеровская система линейных уравнений  совместна и определенна, т.е. имеет  единственное решение, которое определяется формулами Крамера

    Здесь ∆_j (j = 1, …, n) есть определитель, получающийся из определителя системы путем замены его j – го столбца столбцом из свободных членов системы.

    

    

    

    

     , ,

    б) матричным методом

    Если  матрица системы n уравнений с n неизвестными неособенная, то система имеет единственное решение, которое представимо в матричном виде где Х – матрица-столбец из неизвестных, В - матрица-столбец из свободных членов системы, А^-1 – обратная матрица к матрице системы.

    Так как ∆(А) = 170 ≠ 0, то обратная матрица А^-1 существует. Для ее нахождения вычислим все алгебраические дополнения элементов матрицы А:

     ,

     ,

     ,

     ,

     ,

     ,

     ,

     ,

     .

    Тогда обратная матрица имеет следующий вид

    Тогда имеем 

      

    в) методом Гаусса

    

    

      
 
 

 

     Задание 3. Показать, что векторы а₁, а₂, а₃ образуют базис в пространстве R³, и найти координаты вектора а в этом базисе.

    

    Решение:

    Любая система

    а₁ = (а₁₁, …, а_1n),

    ………………..

    a_n = (a_n1, …, a_nn)

    из  n векторов пространства Rⁿ образует базис этого пространства, если определитель, составленный из их координат, не равен нулю:

    

    

    Векторы образуют базис пространства R³.

    Вектор  а разлагается по векторам этого базиса, т.е. справедливо равенство вида:

    а = α₁а₁ + α₂а₂ + α₃а₃.

    Последнее равенство в координатной форме  имеет следующий вид:

    (-6, 1, 1) = α₁(2, 1, -2) + α₂(1, -4, 3) + α₃(3, 0, 7).

    Согласно  определению равенства векторов и действиям над векторами  получим систему    

    

    линейных  алгебраических уравнений с неизвестными α₁, α₂, α₃.

    Решим полученное уравнение методом Крамера:

    

    

    

     , ,

    a=(-2, 0, 1)_a1,a2,a3 
 
 

 

     Задание 4. Определить ранг заданной матрицы.

    

    Решение:

    Преобразуем данную матрицу к эквивалентной ей, используя следующие правило. при вычислении ранга матрицы можно исключить из рассмотрения (вычеркнуть, отбросить):

    1) нулевые строки;

    2) одну из двух равных строк;

    3) одну из двух пропорциональных строк;

    4) строку, являющуюся линейной комбинацией остальных строк.

    Такие образом, можно отбросить вторую строку, пропорциональную первой, и  третью нулевую строку. Получим: (2. 4). То есть r(A) = 1.

    

 

     Задание 5. Привести систему к системе  с базисом методом  Жордана-Гаусса и найти одно базисное решение.

    

    _{Решение:}

    

    Получим следующую систему:

    

    Свободные переменные: х₃, х₄, х₅.

    При х₃ = 1, х₄ = 0, х₅ = 0 получим: ,

    Одно  базисное решение   

 

     Задание 6. Найти два  опорных решения  канонической системы  уравнений.

    

    Решение:

   Данная  система является системой с базисом  относительно переменных х₄, х₅. Свободными неизвестными являются х₁, х₂ и х₃. Полагая в системе х₁ = 0, х₂ = 0 и х₃ = 0, получим первое опорное решение = (0,0,0,4,7).

    Так как при свободных неизвестных  х₁, х₂ и х₃  имеются положительные коэффициенты, то возможен переход к эквивалентной канонической системе. Переход осуществим согласно алгоритму преобразования однократного замещения.

    В качестве разрешающего столбца возьмем  столбец свободной неизвестной  х₁. Разрешающей строкой будет первая строка. Тогда разрешающим элементом будет элемент а₁₁ = 2.

    

    Приведем  полученную систему к системе  с базисом:

    

    Получим систему:

    

    Тогда второе опорное решение: = (-451, -7, 65, 0, 0).

 

     Задание 7. Найти собственные  значения и собственные  векторы данной матрицы.

    

    Решение:

    Характеристическое  уравнение имеет вид:

    

    

    Подставляя  последовательно полученные собственные значения в получим следующие три системы уравнений для нахождения соответствующих собственных векторов:

    

    Решая данные системы получим собственные  векторы:

    из  первой системы уравнений  =(с, 0, -с)

    из  второй системы уравнений  = (4с, 4c, c)

    из  третьей системы уравнений  = (-4с, 5c, c)

    где с – любое действительное число, не равное нулю. 

 

     Задание 8. Даны вершины  треугольника АВС. Найти  уравнения его  сторон и точку  пересечения высот.

    

    Решение:

    

    Найдем  уравнения сторон треугольника:

    АВ:

    АВ: у = х + 6

    АС:

    АС:

    ВС:

    ВС:

    Составим  уравнения высот треугольника:

    AH1: A(-3, 3),

    так как  , то угловой коэффициент перпендикулярной прямой

    y = x + b

    3 = ∙(-3) + b Þ b = 5

    AH1: y = x + 5

    CH3: C(6, 2), у = х + 6

    так как k = 1, то угловой коэффициент перпендикулярной прямой k = -1

    y = -x + b

    2 = -6 + b Þ b = 8

    CH3: y = 8 - x

    Найдем  точку D – точку пересечения высот.

    

    Решив систему уравнений получим D( , ) 

 

     Задание 9. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить линию.

    

    Решение:

    (-25x² + 100x) + (4y² + 8y) – 196 = 0

    (-25x² + 100x - 100) + (4y² + 8y + 4) – 196 + 100 - 4 = 0

    -(25x² - 100x + 100) + (2y + 2)² = 100

    -(5x – 10)² + (2y + 2)² = 100

    -25(x – 2)² + 4(y + 1)² = 100

    

    Данное  уравнение является каноническим уравнением гиперболы  с центром в точке  С(2, -1) и полуосями a = 2, b = 5.

    Построим  гиперболу:

      

 

     Задание 10. Построить  график заданной кривой.