Линейная алгебра

Дайте определение линейного пространства.

Множество векторов V наз-ся линейным пространством а его элементы-векторами, если введены сложение векторов(каждым двум векторам а и в ставится в соответствие вектор а+в) и умножение вектора на число(есть правило, по кот-му каждому а-вектору и β-числу ставится в соответствие β*а) и удовлетворяются аксиомам: а+в=в+а, (а+в)+с=а+(в+с), введен нулевой вектор и а+0=а, есть противоположные векторы такие что а+(-а)=а, М(а+в)=Ма+Мв, М(β а)=(М β)а, (α+µ)а=α*а+µ*а, 1*а=а

2. Дайте определение подпространства  линейного пространства и сформулируйте

критерий линейного подпространства – совокупность всех векторов из V, удовлетворяющая условиям в-р а и в принадлежат S, то а+в принадлежит S, а принадлежит S и β любое действительное число, то β А принадлежит S

3. Сформулируйте определение линейно  зависимой системы векторов – система наз-ся лин-зав, если существует линкомбинация(нетривиальная) этих векторов, равная 0

 

4. Сформулируйте определения линейно  независимой системы векторов - система наз-ся лин-незав, если нет линкомбинации(нетривиальной) этих векторов, равная 0

5. Дайте определение базиса линейного  пространства. – система векторов наз-ся базисом линпространства если векторы линейно-независимые и любой из веторов пространства можно разложить по этим векторам, т.е. а=α1а1+…+αнан – это равенство наз-ся разложением вектора по базису а коэффициенты – координатами вектора в данном базисе.

6. Дайте определение ранга системы  векторов. - Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью пространства – то есть число базисных векторов

7. Дайте определение ортогональной  системы векторов – система векторов  в евклидовом пространстве, если все векторы попарно ортогональны(их скалярное произведение=0)

8. Дайте определение ортонормированной  системы векторов. – система векторов, если модуль каждого вектора этой системы равен 1

9. Дайте определение скалярного произведения векторов в ℝ3 и его свойства. Пусть а и в принадлежат ℝ3, их скалярное произведение это число, (а,в)=а1в1+а2в2+…+аnвn и удовлетворяет аксиомам: (а,в)=(в,а), (β а, в)=β(а,в), (а+в)с=(а,с)+(в,с), (а,а)>=0, если а неравно 0 и если (а,а)=0, то а=0

10. Дайте определения определенной и неопределенной систем уравнений. – система уравнений вида: называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой.

11. Дайте определение несовместной  системы уравнений. - Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

 

12. Дайте определение фундаментального  набора решений однородной системы

Уравнений - представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

13. Дайте определение ранга матрицы. – ранг системы векторов, образуемых строками матрицы. И у матрицы А размером м*н ранг – число от 0 до м, причем ранг А =0 лишь при А=0

14. Дайте определения вырожденной  и невырожденной матриц. - Вы́рожденной  называют квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, Невырожденная матрица ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. 

15. Дайте определение ортогональной  матрицы. Ортогональная матрица — квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на AT равен единичной матрице:[1]

или, что эквивалентно, её обратная матрица равна транспонированной матрице:

 

16. Сформулируйте правило умножения  матриц и его свойства. – даны матрицы А m*n и В n*k. Тогда произведением А*В будет матрица С размера m*k, обозначаемая АВ, элементы кот-ой вычисляются как Сig=(ai,bg), где ai – строка i матрицы A, а bg  есть строка g матрицы B

Свойства: (АВ)С=А(ВС), А(В+С)=АВ+АС, (А+В)С=АС+ВС, α(АВ)=(αА)В=А(αВ)

17. Дайте определение обратной  матрицы и ее свойства.

 

18. Сформулируйте свойства определителя матрицы - Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы

19. Сформулируйте теоремы о целых  и рациональных корнях многочленов  с целыми

коэффициентами.

 

20. Сформулируйте теорему Безу  и следствия из нее. Дан многочлен степени  n и t-число, то есть такой многочлен Q(х) степени n, что Р(х)=(x-t)Q(x)+r, r=P(t) при этом если t-корень многочленаP(x), то Р(x)=(x-t)Q(x) Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена   на двучлен   равен  .

Следствия

Число a является корнем многочлена   тогда и только тогда, когда   делится без остатка на двучлен   (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена   тождественно множеству корней соответствующего уравнения  ).

Свободный член многочлена делится на любой целый  корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).

Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k.

 

21. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа.

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа   обозначается   и определяется выражением  .

Угол   (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу  , называется аргументом числа 

22. Сформулируйте формулу Муавра. Формула Муавра для комплексных чисел   утверждает, что

 для любого 

 

23. Сформулируйте основную теорему  алгебры.

24. Дайте определение линейного  оператора (преобразования).

25. Дайте определения собственных  векторов и собственных значений  линейных

операторов.

26. Дайте определения собственных  векторов и собственных значений  матриц и свойства собственных векторов матриц

27. Дайте определение квадратичной  формы.

28. Сформулируйте закон инерции  квадратичных форм.

29. Сформулируйте критерий Сильвестра.

30. Сформулируйте формулу расстояния  между точками в многомерном  пространстве и свойства расстояния(модуль вектора)

 

Свойства: для  точек А,В,С,  
 
1) |AB| >= 0, причем |AB|=0 <==> A=B.  
2) |AB|=|BA|,  
3) |AC| <= |AB|+|BC|.

31. Дайте определение отрезка,  сформулируйте теорему об отрезке.

32. Дайте определение k-мерной  плоскости и гиперплоскости.

 

33. Дайте определение выпуклого  множества и сформулируйте основные  свойства

выпуклых множеств.

34. Дайте определение эллипса  и сформулируйте его каноническое  уравнение.

35. Cформулируйте каноническое уравнение мнимого эллипса.

36. Дайте определение гиперболы  и сформулируйте его каноническое  уравнение.

37. Дайте определение параболы  и сформулируйте его каноническое  уравнение.

38. Перечислите вырожденные кривые  второго порядка и сформулируйте  их

канонические уравнения.

39. Сформулируйте каноническое  уравнение эллипсоида и выполните  эскиз его чертежа.

 

40. Сформулируйте каноническое  уравнение однополостного гиперболоида  и выполните эскиз его чертежа.

41. Сформулируйте каноническое  уравнение двуполостного гиперболоида  и выполните эскиз его чертежа.

42. Сформулируйте каноническое  уравнение эллиптического параболоида  и выполните

эскиз его  чертежа.

43. Сформулируйте каноническое  уравнение гиперболического параболоида  и

выполните эскиз его чертежа.

44. Сформулируйте канонические  уравнения конуса и выполните  эскиз его чертежа.

45. Сформулируйте каноническое  уравнение эллиптического цилиндра  и выполните

эскиз его чертежа.

 

46. Сформулируйте каноническое  уравнение гиперболического цилиндра  и выполните

эскиз его  черт ежа.

47. Сформулируйте каноническое  уравнение параболического цилиндра  и выполните

эскиз его чертежа.

 

48. Сформулируйте канонические  уравнения пары пересекающихся  плоскостей, пары

параллельных плоскостей и пары совпадающих плоскостей.

Пересекающиеся: х2/а2-у2/в2=0

Параллельные: х2-а2=0

Совпадающие: х2=0