Линейное программирование: постановка задач и графическое решение

 Решим графическим  методом задачи использования  сырья и составления рациона. 

 Задача использования  сырья. Для изготовления двух  видов продукции Р1 и Р2 используют три вида сырья: S1, S2, S3. Запасы сырья, количес... 
 
 
 
 
 
 
 

тво единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы  продукци, а так же величина прибыли, получаемая от реализации единицы продукции, приведены в таблице 2.1. 
 
 

 Таблица 2.1. 

 Вид сырьяЗапас  сырьяКоличество единиц сырья,  идущих на изготовление единицы  продукцииР1Р2S12025S24085S33056Прибыль от  единицы продукции, руб.5040 

 Необходимо  составить такой план выпуска  продукции, чтобы при ее реализации  получить максимальную прибыль. 
 
 

 Решение. 

 Обозначим  через х1 количество единиц  продукции Р1, а через х2 –  количество единиц продукции  Р2. Тогда, учитывая количество  единиц сырья, расходуемое на  изготовление продукции, а так  же запасы сырья, получим систему  ограничений: 

2х1 + 5х2 20 

8х1 + 5х2 40 

5х1 + 6х2 30 
 
 

 которая показывает, что количество сырья, расходуемое  на изготовление продукции, не  может превысит имеющихся запасов.  Если продукция Р1 не выпускается,  то х1=0; в противном случае x1 0. То же самое получаем и для продукции Р2. Таким образом, на неизвестные х1 и х2 должно быть наложено ограничение неотрицательности: х1 0, х2 0. 

 Конечную  цель решаемой задачи – получение  максимальной прибылипри реализации  продукции – выразим как функцию  двух переменных х1 и х2. Реализация х1 единиц продукции Р1 и х2 единиц продукции Р2 дает соответственно 50х1 и 40х2 руб. прибыли, суммарная прибыль Z = 50х1 + 40х2 (руб.) 

 Условиями  не оговорена неделимость единица  продукции, поэтому х1 и х2 (план  выпуска продукции) могут быть и дробными числами. 

 Требуется  найти такие х1 и х2, при которых  функция Z достинает максимум, т.е.  найти максимальное значение  линейной функции Z = 50х1 + 40х2 при  ограничениях 
 
 

2х1 + 5х2 20 

8х1 + 5х2 40 

5х1 + 6х2 30 
 
 

 х1 0, х2 0. 
 
 

 Построим многоугольник решений (рис. 2.3). 

 Для этого  в системе координат х1Ох2 на  плоскости на плоскости изобразим  граничные прямые 
 
 

2х1 + 5х2 = 20 (L1) 

8х1 + 5х2 = 40 (L2) 

5х1 + 6х2 = 30 (L3) 
 
 

 х1 = 0, х2 = 0. 
 
 

 Взяв какую-нибудь  точку, например, начало координат, установим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство (эти полуплоскости на рис. 2.3 показаны стрелками). Многоугольником решений данной задачи является ограниченный пятиугольник ОАВСD. 
 

 Для построения  прямой 50х1 + 40х2 = 0 строим радиус-вектор N = (50;40) = 10(5;4) и через точку O проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую Z = 0 перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора N. Из риc. 2.3 следует, что опорной по отношению к многоугольнику решений эта прямая становится в точке С, где функция Z принимает максимальное значение. Точка С лежит на пересечении прямых L1 и L2. Для определения ее координат решим систему уравнений 
 
 

8x1 + 5х2 = 40 

5х1 + 6х2 = 30 
 
 
 
 

 Оптимальный  план задачи: х1 = 90/23 = 3,9; х2 = 40/23 = 1,7. Подставляя значения х1 и х2 в линейную функцию, получаем Zmax = 50 3,9 + 40 1,7 = 260,3 

 Таким образом,  для того чтобы получить максимальную  прибыль в размере 260,3 руб., необходимо  запланировать производство 3,9 ед. продукции  Р1 и 1,7 ед. продукции Р2. 
 
 

 Задача составления  рациона. При откорме каждое  животное ежедневно должно получать  не менее 9 ед. питательного вещества S1, не менее 8 ед. вещества S2 и не  менее 12 ед. вещества S3. Для составления  рациона используют два вида  корма. Содержание количества елиниц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и стоимость 1 кг корма приведены в таблице 2.2. 

 Таблица 2.2. 

 Питательные  веществаКоличество единиц питательных  веществ 

 в 1 кг корма.  Корм 1Корм 2S131S212S316Стоимость 1 кг  корма, коп.46

Необходимо составить дневной рацион нужной питательности, причем затраты на него должны быть минимальными. 

Решение. 

 Для составления  математической модели обозначим  через х1 и х2 соответственно  количество килограммов корма  1 и 2 в дневном рационе. Принимая во внимание значения, приведенные в таблице 2.2, и условие, что дневной рацион удовлетворяет требуемой питательности только в случае, если количество единиц питательных веществ не меньше предусмотренного, получаем систему ограничений 
 
 

3х1 + х2 9 

 х1 + 2х2 8 

 х1 + 6х2 12 
 
 

 х1 0, х2 0. 
 
 

 Если корм 1 не используется в рационе,  то х1=0; в противном случае x1 0. Аналогично имеем х2 0. То есть  должно выполняться условие неотрицательности  переменных: х1 0, х2 0. 

 Цель данной  задачи – добиться минимальных затрат на дневной рацион, поэтому общую стоимость рациона можно выразить в виде линейной функции Z = 4х1 + 6х2 (коп.) 

 Требуется  найти такие х1 и х2, при которых  функция Z принимает минимальное.  Таким образом, необходимо найти  минимальное значение линейной функции Z = 4х1 + 6х2 при ограничениях 

3х1 + х2 9 

 х1 + 2х2 8 

 х1 + 6х2 12 
 
 

 х1 0, х2 0. 
 
 

 Построим  многоугольник решений (рис. 2.4). Для  этого в системе координат  х1Ох2 на плоскости изобразим граничные  прямые 

3х1 + х2 = 9 (L1) 

 х1 + 2х2 = 8 (L2) 

 х1 + 6х2 = 12 (L3) 
 
 

 х1 = 0, х2 = 0. 
 
 

 Взяв какую-нибудь  точку, например, начало координат,  установим, какую полуплоскость  определяет соответствующее неравенство  (эти полуплоскости на рис. 2.4 показаны  стрелками). В результате получим неограниченную многоугольную область с угловыми точками А, В, С, D. 

 Для построения  прямой 4х1 + 6х2 = 0 строим радиус-вектор N = (4;6) и через точку O проводим  прямую, перпендикулярную ему. Построенную  прямую Z = 0 перемещаем параллельно  самой себе в направлении вектора N. Из риc. 2.4 следует, она впервые коснется многогранника решений и станет опорной по отношению к нему в угловой точе В. Если прямую перемещать дальше в направлении вектора N, то значения линейной функции на многограннике решений возрастут, значит, в точке В линейная функция Z принимает минимальное значение. 

 Точка В  лежит на пересечении прямых L1 и L2. Для определения ее координат  решим систему уравнений 

3x1 + х2 = 9 

 х1 + 2х2 = 8 

 Имеем: х1 = 2; х2 = 3. Подставляя значения х1 и х2 в линейную функцию, получаем Zmin = 4 2 + 6 3 = 26. 

 Таким образом,  для того, чтобы обеспечить минимум  затрат (26 коп. в день), необходимо  дневной рацион составить из 2 кг корма 1 и 3 кг корма 2. 
 
 

2.2. Обобщение  графического метода решения  задач линейного программирования. 

 Вообще, с  помощью графического метода  может быть ре-шена задача линейного  программирования, система ограниче-ний  которой содержит n неизвестных и  m линейно независи-мых уравнений,  если N и M связаны соотношением N – M = 2. 

 Действительно, пусть поставлена задача линейного программирования. 

 Найти минимальное  значение линейной функции Z = С1х1+С2х2+... +СNxN при ограничениях 
 
 

a11x1 + a22x2 + ... + a1NХN = b1 

(2.3) a21x1 + a22x2 + ... + a2NХN = b2 

. . . . . . . . . . . . . . . 

aМ1x1 + aМ2x2 + ... + aМNХN = bМ 
 
 

xj 0 (j = 1, 2, ..., N) 
 
 

 где все уравнения линейно независимы и выполняется cоотношение N - M = 2. 

 Используя  метод Жордана-Гаусса, производим M исключений, в результате которых  базисными неизвестными оказались, например, M первых неизвестных х1, х2, ..., хM, а свободными - два последних: хМ+1, и хN, т. е. система ограничений приняла вид 
 
 

 x1 + a1,М+1xМ+1 + a1NХN = b1

(2.4) x2 + a. 2,М+1xМ+1 + a2NХN = b2 

. . . . . . . . . . . . 

xМ + aМ, М+1x2 + aМNХN = bМ 
 
 

 xj 0 (j = 1, 2, ..., N) 
 

С помощью уравнений  преобразованной системы выражаем линейную функцию только через свободные  неизвестные и, учитывая, что все  базисные неизвестные - неотрицательные: хj 0 (j = 1, 2, ..., M), отбрасываем их, переходя к системе ограничений, выраженных в виде неравенств. Таким образом, окончательно получаем следующую задачу. 

 Найти минимальное  значение линейной функции Z = СМ+1хМ+1+СNxN при ограничениях 
 
 

 a1,М+1xМ+1 + a1NХN b1 

a2,М+1xМ+1 + a2NХN b2 

. . . . . . . . . . 

aМ,М+1xМ+1 + aМNХN bМ 
 
 

xМ+1 0, хN 0 
 
 

 Преобразованная задача содержит два неизвестных; решая ее графическим методом, находим оптимальные значения xМ+1 и хN, а затем, подставляя их в (2.4), находим оптимальные значения х1, х2, ..., хM. 
 
 

 Пример. 

 Графическим методом найти оптимальный план задачи ли-нейного программирования, при котором линейная функция Z = 2х1 - х2 + х3 - 3х4 + 4х5 достигает максимального значения при ограничениях 
 
 

 х1 - х2 + 3х3 - 18х4 + 2х5 = -4 

2х1 - х2 + 4х3 - 21х4 + 4х5 = 2 

3х1 - 2х2 + 8х3 - 43х4 + 11х5 = 38 
 
 

xj 0 (j = 1, 2, ..., 5) 
 
 
 

 Решение. 

 Используя  метод Жордана-Гаусса, произведем  три полных исключения неизвестных  х1, х2, х3. В результате приходим  к системе 

 х1 + х4 - 3х5 = 6 

 х2 + 7х4 + 10х5 = 70 

 х3 - 4х4 + 5х5 = 20 

 Откуда x1 = 6 –  х4 + 3x5, х2 = 70 – 7х4-10х5, х3 = 20 + 4х4 -5х5. 

 Подставляя  эти значения в функцию и  отбрасывая в системе базисные  переменные, получаем задачу, выраженную  только через свободные переменные  х4 и х5: найти максимальное  значение линейной функции Z = 6х4 + 15х5 – 38 при ограничениях 

 х4 - х5 6 

7х4 + 10х5 70 

- 4х4 + 5х5 20 
 
 

 х4 0, х5 0. 
 
 

 Построим  многогранник решений и линейную  функцию в системе координат  х4Ох5 (рис. 2.5). Из рис. 2.5 заключаем,  что линейная функция принимает максимальное значение в угловой точке В, которая лежит на пересечении прямых 2 и 3. В результате решения системы 
 
 

7х4 + 10х5 = 70 

4х4 + 5х5 = 20 
 
 

 находим:  х4 = 2, х5 = 28/5. Максимальное значение  функции Zmax = -38 + 12 + 84 = 58. 

 Для отыскания оптимального плана исходной задачи подставляем найденные значения х4 и х5. Окончательно получаем: х1 = 104/5, х2 = 0, х3 = 0, х4 = 2, х5 = 28/5.