Математические методы исследования операций в экономике

где |A| — определитель матрицы А, определённой нами выше, |Aj| — определитель, полученный из определителя |A| путем замены j-го столбца столбцом свободных членов.

n-мерный вектор и векторное пространство 

     n-мерным вектором  называется упорядоченная совокупность n действительных чисел (x1, x2,…, xn). Числа x1, x2,…, xn называются компонентами вектора .

     n-мерным векторным пространством Rn называют совокупность n-мерных векторов с действительными компонентами, рассматриваемая с определенными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число

Метод Жордана - Гаусса 

  Данный  метод заключается в том, что  с помощью элементарных преобразований  система уравнений приводится  к равносильной системе уравнений  с матрицей определенного вида.

Над строками расширенной матрицы Ã осуществляем следующие элементарные преобразования: 

1. перестановка  двух строк;
2. умножение строки на любое число, отличное от нуля;
3. прибавление к одной строке другой строки, умноженной на некоторое число;
4. отбрасывание нулевой строки (столбца).

n – мерный вектор и векторное пространство 

   Определение. n-мерным вектором  называется упорядоченная совокупность n действительных чисел (x1, x2,…, xn). Числа x1, x2,…, xn называются компонентами вектора .

   Определение. n-мерным векторным пространством Rn называют совокупность n-мерных векторов с действительными компонентами, рассматриваемая с определенными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число.

Размерность и базис векторного пространства 

      Вектор  называется линейной комбинацией  векторов , если существуют такие  действительные числа , не все  одновременно равные нулю, что  имеет место равенство .

       Введем два эквивалентных определения  линейной зависимости векторов.

      Система векторов  (k > 1) пространства Rn называется линейно зависимой, если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов. В противном случае система векторов называется линейно независимой.

       Система векторов  (k > 1) пространства Rn называется линейно зависимой, если существуют такие числа , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство: . В противном случае система векторов называется линейно независимой.

Решение задач  линейной алгебры с помощью MS Excel  

    Среда MS Excel представляет собой набор инструментов для обработки данных, как правило, числовых. Ядром данной прикладной программы являются функции MS Excel (финансовые, математические, статистические, баз данных и т.д.), предназначение которых ясно из названий. В этом параграфе мы применим средства Excel для выполнения действий над матрицами, что, надеемся, облегчит студентам решение задач.

Итак, в Excel существуют следующие функции действий над матрицами: 

  МУМНОЖ – возвращает произведение матриц (матрицы хранятся в массивах). Результатом является массив с таким же числом строк, как массив 1, и с таким же числом столбцов, как массив 2.

   МОПРЕД – возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве).

  ТРАНСП – транспонирование матрицы.

  МОБР – возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.

Линейное  программирование 

Постановки  задачи линейного программирования

Для простейших действий над матрицами, такими как: 

• сложение/вычитание  двух матриц;
• умножение матрицы на число – использование встроенных функций MS Excel не требуется. Для выполнения арифметических действий, но не над числами, а над массивами чисел (матрицами), достаточно составить необходимую формулу для одного из элементов, а затем скопировать ее для всех остальных. За счет индексации (адреса) каждой ячейки листа MS Excel будет получен корректный результат.

Основная  задача программирования  

         ЗЛП во многих случаях оказывается  ассоциированной с задачей распределительного  типа или с задачей производственного  планирования, в которой требуется  распределить ограниченные ресурсы  по нескольким видам производственной  деятельности.

Каноническая  задача линейного программирования 

         Для построения общего метода  решения ЗЛП разные формы ЗЛП  должны быть приведены к некоторой  стандартной форме, называемой  канонической задачей линейного  программирования (КЗЛП).

    В канонической форме

1. все функциональные ограничения записываются в виде равенств с неотрицательной правой частью;
2. все переменные неотрицательны;
3. целевая функция подлежит максимизации.

Анализ решения (модели) на чувствительность 

      Модель линейного программирования  является как бы «моментальным  снимком» реальной ситуации, когда  параметры модели (коэффициенты  целевой функции и неравенств  ограничений) предполагаются неизменными.  Естественно изучить влияние  изменения параметров модели  на полученное оптимальное решение  задачи ЛП. Такое исследование  называется анализом на чувствительность. В этом разделе анализ чувствительности основывается на графическом решении задачи ЛП.