Математическое моделирование

 

 

Рассмотрим третий случай, когда x_К x_Т b, где x_К= x_К= b+R-

 

Рисунок 3.5 – Схема для расчета  площади засветки на третьем интервале

 

Площадь открытой части  световода будем находить как  разность площадей прямоугольника DMNF S_ПР и разницу между площадью сегмента S_2СЕГМ и S_1СЕГМ

 

S= S_ПР – (S_2СЕГМ - S_1СЕГМ )= S_ПР  - S_2СЕГМ+S_1СЕГМ.   (18)

 

Площадь прямоугольника DMNF находится по формуле

 

S_ПР=DF×DM=b(x_К1 – x_Т + b).    (19)

 

S_2СЕГМ, S_1СЕГМ,  x_К1 находятся по формулам (8), (16), (11) соответственно.

 

Тогда площадь S в третьем случае будет находиться по формуле:

 

S= b(x_К1 – x_Т + b) - R²( - 0,5sin( )+

 

+ R²(b - 0,5sin2b).     (20)

 

Как видим, величина площади открытой части световода в двух случаях

зависит не только от радиуса  торца R, стороны квадрата b и перемещения шторки x_Т, но и от угла b, который в свою очередь зависит от перемещения шторки x_Т.

 

 

Для того чтобы показать эту зависимость воспользуемся  рисунками 2.3 и 2.5. В обоих случаях  высота DABC вычисляется по формуле

 

h=R-x_Т+k b,      (21)

 

где k – целочисленный коэффициент, k=0 – в первом случае, и k=1 – во втором случае.

Тогда можно записать

 

cosb=h/R.       (22)

 

b= .     (23)

С учетом выведенных формул  (12), (17),(20) получили формулу (24):

 

 

 (24)

 

 

Также необходимо  разработать  программу, которая позволяла бы с помощью вычислительной техники  рассчитать относительное значение передаточной функции Ф(x_Т)/Ф₀.

 

 

 

 

В результате программы  весь диапазон измерений x_Т разбивается на несколько интервалов и для каждого текущего значения x_Т вычисляется значение Ф(x_Т)/Ф₀.

Распечатка программы  реализующей данный расчет и график  передаточной функции представлены в приложениях А, Б соответственно.

Из графика  (рисунок  А.2) видно, что максимальный поток  равен 0,082 отн. ед., когда шторка закрыта.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4 Нахождение выборочного среднего  и выборочной дисперсии в зависимости от перемещения шторки

 

Необходимо провести вычислительный эксперимент, предполагая, что один из параметров полученной модели является случайной величиной (в таблице 1.1 указана случайная величина b) с нормальным законом распределения.

В целом алгоритм реализации численного метода включает:

а) задание фиксированной  точки диапазона смещения x;

        б) для этого фиксированного  значения генерируем  случайные  числа с помощью датчика случайных чисел;

в) если это необходимо, ставим ограничение на генерируемое число;

        г) масштабируем полученное стандартное число исходя из заданных вероятностных характеристик.

Построение на основе стандартного датчика нормальных случайных  чисел с m_t=0, s_t=1 осуществляется с помощью соотношений /1/

 

,     (25)

 

где х_1,i , х_2,i – случайные числа, имеющие распределение в интервале (0,1).

Затем осуществляем соответствующее  масштабирование путем расчета t_i  по формуле

 

.      (26)

В нашем случае:

                                 (27) 

      д) рассчитываем на основе зависимости полученной в первом пункте расчетного задания выборки значений при фиксированном x_Т /1/.

      е) рассчитываем  выборочное среднее потока и  выборочную дисперсию потока Ф(x_Т) /2/.

.     (28)

 

.    (29)

По результатам расчета  строим зависимости выборочного  среднего и выборочной дисперсии  от перемещения. Программа, производящая расчет и  графики  представлены в приложениях А, Б соответственно.

 

 

Из графика (рис. Б1) видно, что максимальное выборочное среднее потока равно 0,082 отн. ед..

Из графика (рис. Б2) видно, что максимальная выборочная дисперсия  равна 2,15×10^-6 (отн. ед)².

 

 

 

Заключение

 

 

В процессе проделанной  курсовой работы мы практически освоили  общие вопросы теории моделирования, методы построения математических моделей и формирование описания объектов математических моделей для проведения вычислительных экспериментов и решения оптимизационных задач.

Также мы приобрели умение пользоваться литературой, справочными материалами, в которых освещаются те или иные вопросы математического моделирования, закрепили знания правил оформления документации в соответствии со стандартами.

Расчеты поставленной задачи в работе производились MathCAD 2000 professional.

Для оформления записки, а так же графической части задания, были использованы возможности графических редакторов Word и MathCAD 2000 professional.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

1 Математическое моделирование  физических процессов. Методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности Т 06.01.-“Приборостроение “ дневной формы обучения. Могилев: МГТУ, 2001. – 15с.

 

2 Гмурман В.Е. Теория  вероятностей и математическая  статистика. – М.:Высшая школа, 1977. – 427 с.

 

3 Погорелов А. В.  Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1993. – 383 с.: ил.