Матрица

Матрица(нем. Matrіse, лат. matrіx — аналық) —

математикада кез келген жиынның элементтерінен құрылған және m жол мен n бағаннан тұратын тік төртбұрышты А таблицасы. М-ны түзетін нысандар оның элементтері деп аталады. М. элементтері оның жолдары немесе бағаналарының бойымен орналасады. М. элементтері аіj түрінде қос индекспен өрнектеледі, мұндағы бірінші индекс і — М-ның аіj элементі орналасқан жолының нөмірін, екінші индекс j — оның аіj элементі орналасқан бағананың нөмірін көрсетеді. М. символдық түрде не дөңгелек жақша, не қос тік сызық арқылы өрнектеледі: не . Мұндай М-ны (m n) өлшемді тікбұрышты М. деп, ал егер m=n болса, квадрат М. деп, n санын оның реті деп атайды. 

М-ны қысқаша былай белгілейді: (аіj) немесе .

 Жолдарының саны  мен бағаналары санының бірі немесе екеуі де шексіз болатын М-ны шексіз М. деп түсінеміз. Бір ғана жолдан немесе бір ғана бағанадан тұратын М-лар да болады.

 аіі диагональ элементтері ғана нөлден өзгеше болатын квадрат М. диагональ М. деп аталып, dіag(а1 … аn) таңбасымен белгіленеді. Диагональ М-ның барлық элементтері (аі=1) болса, бірлік М. деп аталады. Егер барлық (аі=а) болса, онда скаляр М. шығады. Барлық элементтері нөлге тең М. нөлдік М. деп аталады.

 Жолдары мен бағаналарын ауыстыру арқылы алынған М. транспозицияланған М. деп аталып, А немесе АТ арқылы белгіленеді. Егер М. элементтерін комплекс түйіндеске ауыстырсақ, онда комплекс түйіндес М-сы шығады. Егер А транспозицияланған М. элементтерін комплекс түйіндеске ауыстырсақ, онда А М-мен түйіндес болатын А* М-сы шығады.

 Квадрат М-ның  анықтауышы |A| немесе det A деп белгіленеді.

                                         Үшбұрыштығы матрица 

Матрицаларға амалдар қолдану. М-ға қосу, көбейту алгебр. амалдар қолданылады. А тікбұрышты (m n) М-сының санына көбейтіндісі деп барлық аіj элементтерін санына көбейткенде шығатын М-ны айтады: . Бұл амалдар: А+В=В+А, А+(В+С)=(А+В)+С, ( + )А= = А+ А, (А+В)= А+ В, ( А)=( )А қасиеттерін қанағаттандырады. М-ның қосындысы оның құрау-шыларының қосындысына тең, яғни: . М-ны көбейту амалы 1-көбейткіш бағаналарының саны 2-көбейткіш жолдарының санына тең тік бұрышты М-лар үшін ғана орындалады. (m p) өлшемді А М-ның (p n) өлшемді В М-на көбейтіндісі элементтері сіj=аі1b1j+аі2b2j+ +…+аіpbpj, і=1,…,m, j=1,…,n болатын (m n) өлшемді C матрицасы болып табылады. М-ға енгізілген үш амал сандарға қолданылатын амалға жақын. АВ және ВА М-ларының көбейтіндісі бірінші ретті квадрат М. үшін ғана анықталады және көбейткіштердің ретіне де байланысты, яғни АВ=ВА орындалмай қалуы да мүмкін. Егер АВ=ВА болса, онда А және В М-лары ауыспалы деп аталады. Әрбір көбейткіші нөлден өзгеше болса да, екі М-ның көбейтіндісі нөлдік М-ға тең болуы мүмкін. Сонда М. үшін (АВ) =А В , , (AB)*= =В*А* ережелері орындалады.

 Екі квадрат М-ның көбейтіндісінің анықтауышы көбейтілетін М-лар анықтауышының көбейтіндісіне тең. Егер анықтауышы нөлге тең болмаса, онда А=(аіj) квадрат М-сы өзгеше емес деп, ал кері жағдайда ерекше М. деп аталады. Кез келген өзгеше емес М-ның АА–1=Е теңдеуімен анықталатын бір ғана кері А–1 М-сы болады. Бірдей n ретті А және В квадрат М-лары ұқсас М-лар деп аталады.

 К өрісіндегі коэффициенттері а0, а1, …, an болатын n дәрежелі кез келген Pn(t)=а0tn+ +а1tn-1+…+аn-1t+аn көпмүшесі Х квадрат М-нан Pn(Х)= а0Хn+а1Хn-1+…+аn-1 Х+аnЕфункциясын анықтайды. Егер f(t) аналит. функциясы барлық комплекс жазықтықта жинақталатын қатары арқылы анықталатын болса, онда функция М-нан қарастырылады. Бұл қатар кез келген квадрат М. үшін жинақты болады. М. сызықтық алгебрада, векторлық кеңістікте сызықтық бейнелеуді зерттегенде, сызықтық және квадраттық тұлғаларда, сызықтық теңдеулер системасында қолданылады. М-ны матем. анализде дифференц.теңдеулерді интегралдау жүйесіне, ықтималдықтар теориясында, кванттық механикада, т.б. пайдаланады.[1]

[өңдеу]

Тарихы 

М. ұғымы 19 ғ-дың ортасында ирланд математигі У.Гамильтон (1805 — 1865), ағылшын математигі А.Кэли (1821 — 1895) және Дж.Сильвестер (1814 — 1897) еңбектерінде берілген. М. теориясының негізін 19 ғ-дың 2-жартысы мен 20 ғ-дың басында ВейерштрассК.Вейерштрасс (1815 — 1897) пен неміс математигі Ф.Фробениус (1849 — 1917) қалаған.