Метод Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений

     исходная  система свелась к ступенчатой, где количество уравнений меньше, чем количество неизвестных:

     

     Поэтому общее решение системы: x2=5x4-13x3-3; x1=5x4-8x3-1. Если положить, например, что x3=0, x4=0, то найдем одно из частных решений этой системы  x1=-1, x2=-3, x3=0, x4=0.

     Пример 3. Решить СЛАУ 4-ого порядка.

       Условие:

х1 – 2х2 – х3  + х4  = 1

х1 – 8х2 – 2х3 – 3х4 = -2

2х1 + 2х2 – х3 + 7х4 = 7

х1 + х2 + 2х3 + х4 = 1 

      Перепишем систему линейных алгебраических уравнений  в матричную форму. Получится  матрица 4х5, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.

1  -2  -1   1  |   1

1  -8  -2  -3 |  -2

2   2  -1   7  |   7

1   1   2   1  |   1

      Проведём  следующие действия:

1. из второй строки вычтем первую строку (cтрока 2 - строка 1);
2. из третьей строки вычтем первую строку, умноженную на 2(cтрока3-2х строка1)
3. из четвертой строки вычтем первую строку (cтрока 4 - строка 1). Получим:

1  -2  -1   1  |   1

0  -6  -1  -4 |  -3

0   6  1   5  |   5

0   3   3   0  |   0

      Проведём  следующие действия:

1. к третьей строке прибавим вторую строку (строка 3 + строка 2);
2. четвертую строку поделим на 3 (строка 4 = строка 4 / 3). Получим:

1  -2  -1   1  |   1

0  -6  -1  -4 |  -3

0   0  0   1  |   2

0   1   1   0  |   0

      Проведём  следующие действия:

1. четвертую строку поставим на место второй строки;
2. третью строку поставим на место четвертой строки;
3. вторую строку поставим на место третьей строки. Получим:

1  -2  -1   1  |   1

0 1  1    0 | 0

0  -6  -1  -4  |  -3

0   0   0   1  |   2

      К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 6 (строка 3 + 6 × строка 2). Получим:

1  -2  -1   1  |   1

0 1  1    0 | 0

0  0  5 -4  |  -3

0   0   0   1  |   2

      Проведём  следующие действия:

1. к третьей строке прибавим четвертую, умноженную на 4 (строка3 + 4×строка4);
2. из первой строки вычтем четвертую строку (строка 1 - строка 4);
3. третью строку поделим на 5 (строка 3 = строка 3 / 5). Получим:

1  -2  -1   1  |   1

0 1  1    0 | 0

0  0  1   0  | 1

0   0   0   1  |   2

      Проведём  следующие действия:

1. из второй строки вычтем третью строку (строка 2 - строка 3);
2. к первой строке прибавим третью строку (строка 1 + строка 3). Получим:

1  -2 0   0  |   0

0 1  0    0 | -1

0  0  1   0  | 1

0   0   0   1  |   2

3. К первой строке прибавим вторую строку, умноженную на 2 (строка 1 + 2 × строка 2). Получим:

1  0 0   0  |   -2

0 1  0    0 | -1

0  0  1   0  | 1

0   0   0   1  |   2

      В левой части матрицы по главной  диагонали остались одни единицы. В  правом столбце получаем решение:

      х₁ = -2

      х₂ = -1

      х₃ = 1

      х₄ = 2

      
 

   

3. Преимущества  и недостатки метода Гаусса

 

      Итак, метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений. Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах.

      Достоинства метода:

1. менее трудоёмкий по сравнению с другими методами;
2. позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение;
3. позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы.

      Существенным  недостатком этого метода является невозможность сформулировать условия  совместности и определенности системы  в зависимости от значений коэффициентов  и свободных членов. С другой стороны, даже в случае определенной системы  этот метод не позволяет найти  общие формулы, выражающие решение  системы через ее коэффициенты и  свободные члены, которые необходимо иметь при теоретических исследованиях.

      Помимо  аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для:

1. нахождения матрицы, обратной к данной (к матрице справа приписывается единичная такого же размера, что и исходная: , после чего приводится к виду единичной матрицы методом Гаусса—Жордана; в результате на месте изначальной единичной матрицы справа оказывается обратная к исходной матрица: );
2. определения ранга матрицы (согласно следствию из теоремы Кронекера—Капелли ранг матрицы равен числу её главных переменных);
3. численного решения СЛАУ в вычислительной технике (ввиду погрешности вычислений используется Метод Гаусса с выделением главного элемента, суть которого заключена в том, чтобы на каждом шаге в качестве главной переменной выбирать ту, при которой среди оставшихся после вычёркивания очередных строк и столбцов стоит максимальный по модулю коэффициент).

      Существуют  и другие методы решения и исследования систем линейных уравнений, которые  лишены отмеченных недостатков. Эти  методы основаны на теории матриц и  определителей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Список использованный источников: 

1. Кремер  Н.Ш., Путко Б.А. Высшая математика для экономистов.-М.: Учеб.пособие, 1998.
2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.-М.: Учеб.пособие, 1968.
3. Справочник по математике для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова//Инфра-М, Москва – 2009.
4. http://www.fizmatik.ru/index.php?option=com_content&view=article&id=146&Itemid=128.
5. http://ru.wikipedia.org/wiki/Метод_Гаусса.
6. http://www.webmath.ru/primeri_reshenii/primeri_reshenii_slay_gauss1_1.php.