Методы линейного программирования

 

     САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ 

     Кафедра экономики и менеджмента  
 
 
 

     КУРСОВАЯ  РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  МЕТОДЫ» 
 

     Методы  линейного программирования 
 
 
 
 
 

     Выполнил: Никулкина Т.О.

     Студентка группы з4072/24 

     Проверил: Артеменко Е.В. 
 
 
 

     Санкт-Петербург

     2011 

 

СОДЕРЖАНИЕ:

 

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………...3

1. Понятие линейного  программирования……………………….…………4

2.Симплекс метод…………………………………………………………….4

3.Экономическая  постановка задачи.…………………………….…….…...5

4. Понятие математической модели………….………………………….......5

5.Двойственная  задача линейного программирования.…………..…….….6

6. Решение исходной  задачи  двойственным симплекс  методом………….7

Список использованной литературы………………………………………..10

 

      Введение.

     Многие  задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. Среди множества возможных вариантов в условиях рыночных отношений приходится отыскивать наилучшие, в некотором смысле при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности. В связи с этим возникла необходимость применять для анализа и синтеза экономических ситуаций и систем математические методы и современную вычислительную технику? Такие методы объединяются под общим названием — математическое программирование.

     Математическое  программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

     Функцию, экстремальное значение которой  нужно найти в условиях экономических  возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель. Математическая модель задачи — это отражение оригинала в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. д.       

     Модель  задачи математического программирования включает:

1. совокупность неизвестных величин, действуя на которые, систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведением и др.);
2. целевую функцию (функцию цели, показатель эффективности, критерий оптимальности, функционал задачи и др.). Целевая функция позволяет выбирать наилучший вариант из множества возможных. Наилучший вариант доставляет целевой функции экстремальное значение. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. д.;

     Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает общество в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов. Ограниченными являются не только материальные, финансовые и трудовые ресурсы. Таковыми могут быть возможности технического, технологического и вообще научного потенциала. Нередко потребности превышают возможности их удовлетворения. Математически ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений (область экономических возможностей). План, удовлетворяющий системе ограничений задачи, называется допустимым. Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, называется оптимальным. Оптимальное решение, вообще говоря, не обязательно единственно, возможны случаи, когда оно не существует, имеется конечное или бесчисленное множество оптимальных решений.

     Один из разделов математического программирования - линейное программирование.   Методы и модели линейного программирования широко применяются при оптимизации процессов во всех отраслях народного хозяйства: при разработке производственной программы предприятия, распределении ее по исполнителям, при размещении заказов между исполнителями и по временным интервалам, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, в задачах перспективного, текущего и оперативного планирования и управления; при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; в задачах развития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов и т. д. Особенно широкое применение методы и модели линейного программирования получили при решении задач экономии ресурсов (выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой материалов), производственно-транспортных и других задач.

     Начало  линейному программированию было положено в 1939 г. советским математиком-экономистом Л. В. Канторовичем в работе «Математические методы организации и планирования производства». Появление этой работы открыло новый этап в применении математики в экономике. Спустя десять лет американский математик Дж. Данциг разработал эффективный метод решения данного класса задач — симплекс-метод. Общая идея симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП состоит в следующем:

1. умение находить начальный опорный план;
2. наличие признака оптимальности опорного плана;
3. умение переходить к нехудшему опорному плану.

 

                             1.Понятие линейного программирования.

         Линейное программирование—раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.

     Особенностью  задач линейного программирования является то, что экстремума целевая  функция достигает на границе  области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.

 

     2.Симплекс  метод

     Симплекс  метод задач линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает (при условии, что данная задача имеет оптимальный план, и каждый ее опорный план является невырожденным). Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план. Рассмотрим задачу, для которой этот план можно непосредственно записать.

 

     3.Экономическая  постановка задачи

     Для откорма крупно рогатого скота используют два вида кормов: зерно и отруби , в которые входят питательные вещества: сено, корнеплоды, солома, витамины . Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг каждого корма, стоимость 1 кг корма и содержание питательных веществ в рационе животного представлены в таблице 1. Составьте рацион при условии минимальной стоимости.

 

     Таблица 1

 

     4.Понятие  математической модели.

     Решение какой-либо задачи управления можно разбить на несколько этапов:

1. формулировка задачи;
2. разработка математической модели изучаемой системы;
3. выбор метода и отыскание решения с помощью этой модели;
4. проверка решения.

     В каждой задаче мы должны ясно определить цели, поставленные перед системой, изучить обстановку, освоиться с терминологией, процессом, определить различные способы действия, приемлемые для ситуации, дать в какой-то форме постановку задачи. Построить подходящую логическую, или математическую модель, которая свяжет переменные задачи с реальными ограничениями, целями задачи, мерой эффективности. Затем, исходя из полученной модели, выбрать метод, и найти решение, оптимизирующее эту меру эффективности, т. е. оптимальное решение. И сравнить это полученное с помощью математической модели решение с действительностью, чтобы выяснить, в самом ли деле мы сформулировали и решали ту реальную задачу, с которой начали? Когда меняется ситуация, какие изменения надо вносить в математическую модель? Можно ли улучшить модель, что привело бы к новым решениям, более реалистичным и точным.

     Итак, математическая модель означает перевод  задачи на язык количественных терминов.

     В линейном программировании математическая модель представляет собой систему линейных соотношений между переменными (ресурсами, ограничениями) и целевую функцию (меру эффективности).

     Математические  модели позволяют привнести научную  методологию в те области управления, где ранее господствовала интуиция и опыт. Математическая модель позволяет  лучше понять исследуемую задачу и процессы, оценить и сравнить между собой решения, оценить эффект, который оказывает изменение одной переменной на остальные, понять численные, количественные характеристики процесса, которые ранее понимались интуитивно-приближенно.

     Когда задача ЛП поставлена, главная мера эффективности выбрана, функциональная форма математической модели определена. Нужно указать, как выбранные  нами переменные связаны с данными задачи, для этого необходимы некоторые эксперименты, позволяющие выявить структуру. В одних случаях, достаточно открыть бухгалтерскую книгу, заглянуть в нужный файл компьютера и получить необходимую информацию; в других, затратить силы и средства. Но в любом случае между переменными и структурой модели существует связь.

     Именно  посредством модели задачи связана с предлагаемым решением. Насколько точна модель, настолько и реально решение. С помощью математической модели и меры эффективности можно оценить разные решения и выбрать лучшее. В линейном программировании, благодаря вычислительным методам, эта задача решается автоматически.

 

     5.Двойственная  задача линейного  программирования

     Каждой  задаче линейного программирования можно поставить в соответствие другую задачу линейного программирования. Решая одну из них, автоматически  решается и другая задача. Такие задачи называют взаимодвойственными. Покажем  по данной задаче, будем называть ее исходной, построить двойственную ей.

     Построим  ей двойственную задачу по следующим  правилам:

1. Количество переменных в двойственной задаче равно количеству неравенств в исходной.
2. Матрица коэффициентов двойственной задачи является транспонированной к матрице коэффициентов исходной.
3. Столбец свободных членов исходной является строкой коэффициентов для целевой функции двойственной. Целевая функция в одной задаче максимизируется, в другой минимизируется.
4. Условиям неотрицательности переменных исходной задачи соответствуют неравенства ограничения двойственной, направленные в другую сторону. И наоборот, неравенствам–ограничениям в исходной соответствуют условия неотрицательности в двойственной.