Методы свертки показателей экономической эффективности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Методы свертки показателей  эффективности

С точки зрения формализованного анализа и применения математических методов решения наиболее «просто» устроены модели проблем, которые имеют  единственный показатель эффективности. Поэтому при исследовании многокритериальных систем используют специальные методы преобразования совокупности показателей  в один, интегрированный оптимизируемый показатель. Такая операция называется сверткой критериев.

Экономический способ формирования критериев

Суммирование или «экономический»  способ соединения, когда целевой  установкой объявляется максимизация суммарного критерия типа (действие 1):

=.

Вектор , участвующий в свертке, характеризует весовые коэффициенты каждого частного критерия, степень его важности в достижении общей целевой установки. Определение вектора весовых коэффициентов проводят эксперты по соответствующей проблеме. Неотрицательность вектора априори не предполагается, хотя в реальных практических задачах она явно фигурирует. По такому принципу, например, образован критерий в модели Гросса [3]; все координаты вектора в этой модели равны 1, а под частными критериями можно понимать операции средств нападения на отдельных пунктах расположения средств защиты. Принципы, заложенные в такой модели можно использовать для моделирования систем ликвидации чрезвычайных ситуаций в пожароопасных районах, считая возникновение очагов поражения действиями противника.

«Экономический» способ свертывания  приводит к целевым установкам второго (количественного) типа, если даже для  частных операций были целевые установки первого типа, т.е. .

Критические состояния объекта

Критические состояния объекта, которые выделяют эксперты по анализируемой  проблеме, требуют соблюдения условий  его функционирования в виде множества  Ô — условно допустимых состояний, которые часто задаются в виде предельно допустимых значений параметров (ограничения) модели  при всех . Для свертки таких критериев используют способ перехода к целевым установкам первого типа путем разбиения векторов {Wj} на удовлетворительные и неудовлетворительные.  объявляются только те векторы {}, для которых выполнены условия:

£ при всех

При этом новый критерий эффективности имеет вид (действие 2):

=1 при выполнении неравенств

=0 в остальных случаях.

Этот вариант применяется  даже в случае , что означает замену критерия «увеличение » на критерий «достижение неравенства £».

 

Последовательное достижение частных целей

 

Здесь оценка выполнения последующей  целевой установки начинается оперирующей  стороной только тогда, когда достигнуты уже абсолютные максимумы критериев  эффективности предыдущих частных  целевых установок. Если £, то суммарный  результат при этом принимается  равным сумме достигнутых результатов в учитываемых ранее оценках эффективности. Формально этот способ свертки (при W j£0) можно записать в виде (действие 3):

= W j + sup ,

когда j удовлетворяет условиям

W i = sup W p при p £ j — 1, W j < sup W j,

где sup W j означает верхнюю границу возможных значений критерия W j.

 

Логическое объединение  критериев

 

Пусть частные критерии —  критерии первого типа и принимают  значения 0 и 1. Тогда используют элементарные операции над критериями (действие 4):

 

а) целевой установкой, противоположной  данной j-й целевой установке, называется стремление к невыполнению j-й целевой установки:

W j н = 1 — W j ;

б) суммарная целевая установка  состоит в выполнении всех частных целевых установок (конъюнкция)

= П S j=1 W j.

в) суммарная целевая установка  состоит в выполнении хоть одной  из частных целевых установок (дизъюнкция)

= 1 — П S j=1 (1 — W j).

Эти действия, обычные для  математической логики, составляют, как  известно, полную систему булевых  операций. Это означает, что любая  связь = F({W j}), где  и W j принимают только булевские значения, может быть записана в виде конечного числа последовательных повторений действий а), б) и в). Этим тем самым полностью описаны  возможные связи между суммарным  критерием и частными критериями, если как частные, так и суммарные  операции принадлежат к первому  типу, т.е. имеют качественный характер

Обобщенное логическое объединение

является прямым обобщением действий логического свертывания  для целевых установок II типа (действие 5), при этом

а) критерий:

W n = — W j,

выражает противоположные интересы в новой ситуации;

б) критерий

= min L j ´ W j ,

L j £ 0;

1 £ j £ S

взвешенно минимизирует невыполнение всей группы целевых установок;

в) критерий

= max L j ´ W j ,

L j £ 0;

1 £ j £ S

моделирует требование выполнения хотя бы одной целевой установки  с учетом весовых коэффициентов, определяемых по заранее разработанным  правилам.

 

Случайное и неопределенное объединение

 

Суммарным критерием в  этом случае объявляется тот или  иной частный критерий в зависимости  от того, какое значение примет дискретный неконтролируемый фактор j (действие 6), т.е.

= W (j) = W j , j = 1,..., S.

В общем случае частные  критерии могут определяться непрерывной  случайной или неопределенной величиной b, тогда получим

= W (b) = W b , b ΠZ о .

Именно этот случай является одним из путей проникновения  случайных и неопределенных факторов в сценарий управления и отражает неуверенность оперирующей стороны  при выборе критерия эффективности. В частности, если ЛПР не может  определить точно коэффициент веса частных критериев в других способах объединения 1 и 5, то эти Lj и будут такими неопределенными факторами; в этом случае

=<,>=W b , bÎ Z о

 

Единицы измерения целей

Количественное измерение  целевых установок требует, как  правило, точного указания единиц измерения  целей. В первую очередь это необходимо для дальнейшего их согласования и определения взаимозависимости  на различных ступенях иерархии.

 

В качестве измерителей применяются следующие:

— количественное измерение (штуки, рулоны, тонны и т.п.);

— стоимостное измерение (например рубли, доллары и т.п.);

— временное измерение (например, часы, минуты и т.п.).

В необходимых случаях  при количественном определении  целей прибегают к экспертным оценкам, при которых с помощью  экспертов вводят безразмерные условные перерасчетные коэффициенты одних  единиц измерения в другие.

 

Полнота системы элементарных действий над критериями

 

Введенные элементарные действия в состоянии отразить всю широту возможных однозначных зависимостей  от W j , если использовать всевозможные комбинации этих действий. Это следует  из нескольких результатов.

Утверждение 1.

Если однозначная функция = F(W 1,...,W S) и каждое из W j принимают  лишь конечное число конечных возможных  значений, то зависимость  от Wj может быть представлена в виде конечного числа действий типа 1, 2, 4.

Утверждение 1 исчерпывает  результаты, декларирующие точное представлении зависимостей F(W j) в виде конечного числа элементарных действий. Следующие утверждения гарантируют возможность их приближенного представления, но с любой заданной точностью.

Утверждение 2.

Пусть функция =F(W 1,..., W S) принимает  конечное число N значений , а каждое из W j произвольные ограниченные функции. Тогда, каково бы ни было e > 0, существуют множество М векторов {Wj} и функция F0 (W 1,...,W S), составленная из конечного числа действий 1, 2 и 4 такие, что

1. F(W j) = F0(W j), когда {W j} Π M;

 

2. F0(W j) пробегает все N значений W c k при {W j}, пробегающем М, не принимая иных значений и при любых {W j};

3. M образует e-сеть на ограниченном  множестве всех {W j}, т.е. для любого {W j} найдется {W0 j} ΠM, удаленный от {W j} не более, чем на e.

Так как любая равномерно непрерывная функция с любой  заданной степенью точности может быть представлена кусочно-постоянной функцией, то также имеет место следующая теорема.

Утверждение 3.

Если = F(W j) равномерно непрерывна на некотором параллелепипеде возможных  значений {W j}, то она с любой степенью точности может быть представлена в  виде конечного числа действий типа 1, 2 и 4.

С точки зрения практики эти три теоремы охватывают основные возможности построения свертки  критериев. Однако справедлива более общая теорема.

Утверждение 4.

Если = F(W j) (j = 1,..., S) непрерывна на области

—¥ < W ° j £ W j £ W°°j < ¥,

то каково бы ни было e, найдется такое конечное число коэффициентов Ak j, C i k j (i £ i°; k £ k° £ S+2), что в этой области

ïF(W j) — min max (A i k j ´ W j + Ci k) ï £ e.

1 £ i £ I°; 1 £ k £ k°

Замечание 1.

В формулировке теоремы можно  с соответствующим изменением коэффициентов  линейных форм, брать не минимакс, а максимин.

Замечание 2.

Поскольку функции 

max (— A i k j ´ Čj+ Ci k)

выпуклы, то отсюда следует, что любая непрерывная в ограниченной области функция F(Čj) с любой заранее заданной точностью приближенно равна

F(Čj) = a° min F b (Čj),

где F b (Čj) — выпуклые функции, т.е. приближенно равна минимуму, взятому по конечному семейству выпуклых функций.

Замечание 3.

Утверждение 4 может быть использовано и для приближенного  представления зависимости критерия эффективности от контролируемых и  неконтролируемых факторов. Таким образом, любой непрерывный критерий эффективности = F(W j) может быть представлен как  минимакс семейства линейных функций  или как минимум семейства  выпуклых функций.