Многоцелевые задачи линейного программирования

10.4. Многоцелевые задачи  линейного

программирования

Известно, что  экономическая эффективность производства количественно

измеряется системой экономических показателей. Так,

в промышленном производстве важными показателями эффективности

являются: рост производительности труда, прибыль, рентабельность

и др. Максимальное значение одного из показателей еще

не означает, что то или иное предприятие работает лучше. Только

система показателей  может характеризовать эффективность  всего

производства.

Задачи, решаемые с учетом множества показателей  или критериев,

носят название многоцелевых. Планы задач, полученные по

разным критериям, будут отличаться один от другого. Можно  для

каждого плана  определить все интересующие нас  показатели, и после

их сравнения  остановиться на том, который позволяет  получить

достаточно высокую  эффективность всего производства. Если

же из полученных планов нельзя выбрать план, который обеспечивал

бы необходимую  эффективность, можно воспользоваться  специальным

методом, так  называемым методом уступок.

Рассмотрим  первый прием на конкретной задаче.

С помощью двух операций производится два вида продукции -

А и В. При производстве продукта А на каждой операции затрачивается

3 часа, а при  производстве продукта В соответственно 4 и 5

часов. Общее  наличие времени для первой и  втЬрой операции 18 и

21 час. Стоимость  единицы продукции А — 3 руб., а продукции В ~

8 руб.

Провести анализ работы предприятия с учетом различных  целей:

а) максимум прибыли;

б) максимум выпуска  продукции;

в) наилучшее  использование оборудования.

Обозначим через  Xj и Х2 количество продукции видов А и В, выпущенных

предприятием.

Используя введенные  переменные, ограничения можно записать

Анализ  решения

1. Продукция  вида А не производится Х1 = О, а продукция вида

В производится 21/6 единиц.

2. Х3 = 6/5 указывает  на то, что по этому плану  производственное

оборудование  при выполнении первой операции простаивает

6/5 ч.

3. Максимальная  прибыль равна 33,6 руб.

4. Элемент 9/5 в индексной строке указывает  на то, что дополнительное

производство  одной единицы продукции А уменьшает

прибыль на 9/5 руб.

5. Значение индекса  3/5 указывает на то, что дополнительный

час работы оборудования при выполнении второй операции увеличивает

прибыль на 8/5 руб. Соответственно сокращение времени

работы на один час уменьшает прибыль на 8/5 руб.

Решение задачи «б» симплекс-методом представлено в табл. 10.2

Анализ  решения

1. Производится  шесть единиц продукции А X1 = 6, продукция

вида В не производится X2 = 0.

2. Х3 = О производственные мощности при выполнении первой

операции используются полностью. Х4 = 3 — производственные

мощности при  выполнении второй операции не использованы в

течение 3 часов.

3. 1/3 в столбце  Х2 показывает, насколько сократился объем

продукции, если изготовить единицу продукции вида В. 1/3 в столбце

Х3 означает, что увеличение времени работы на первой операции

(на 1 час) позволит  выпустить добавочно 1/3 изделия  вида.

4. Общая прибыль  равна 6 - 3 = 1 8 руб.

Решение задачи «в» симплекс-методом представлено в табл. 10.3.

Анализ  решения

1. Нуль в столбце  констант показывает, что имеющиеся  мощности

используются  полностью. (Время простоя оборудования

равно 0).

2. Продукции  вида А производятся две единицы (x1 = 2), а продукции

вида В три единицы (Х2 = 3).

3. Прибыль при  осуществлении программы максимального  использования

оборудования  равна 3 • 2 + 3 • 8 = 30 руб.

Для сравнения  полученных решений сведем результаты в таблицу

(табл. 10.4).

Если оценивать  работу предприятия по трем показателям (табл.

10.4), то вполне  очевидно, что третий вариант  наилучший.

Рассмотрим  второй способ (метод уступок), вначале сформулируем

алгоритм метода.