Обыкновенные дифференциальные уравнения и ряды

     9. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

(1)

     Решение.

Исходное  дифференциальное уравнение является линейным. Применим метод подстановки:

, тогда  .

Подставим значения и в данное уравнение:

,

сгруппируем члены:

(2)

Выберем функцию  так, чтобы выражение в скобках было равно нулю

.

Тогда уравнение (2) запишем в виде системы уравнений:

(3)

Найдем функцию  из первого уравнения системы (3):

-

дифференциальное  уравнение с разделяющимися переменными.

Разделим переменные

, интегрируем  .

, откуда  или . Пусть , тогда .

Подставим значение функции  во второе уравнение системы (3):

 или  - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные: , интегрируем , откуда .

Найденные значения и подставим в равенство , получим

.

Ответ: - общее решение дифференциального уравнения  

     19. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

     Решение.

     Это уравнение не содержит в явном  виде искомой функции  . Положим в уравнении: , получим

 или  -

линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно .

Заменим: ; . Тогда

,

сгруппируем:

.

Это уравнение  заменим системой:

Решим первое уравнение  системы:  ; .

Интегрируем: .

Вычислим каждый интеграл в отдельности

Тогда

 или  .

Пусть , тогда . Подставим значение функции во второе уравнение системы:

     или  .

Интегрируем: 

.

Тогда

.

Следовательно, . Возвращаясь к первоначальной переменной , получим: 

 

Интегрируем:

.

Ответ: - общее решение дифференциального уравнения . 

     39. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .

Решение. Запишем  соответствующее однородное уравнение  ,

характеристическое  уравнение имеет вид:  ,

его корни  .

Общее решение  однородного уравнения: .

Определим вид  частного решения неоднородного  уравнения по правой части исходного  уравнения. Так как , то . Тогда , .

Подставим значения в данное уравнение, получим:

 или 

     

Тогда  .

Общее решение  определяется формулой:  .

Найдем  и , используя начальные условия.

, тогда

Получаем систему:

Получаем частное  решение неоднородного уравнения

.

Ответ: - частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: .