Описание и программирование матричных игр

Нетрудно заметить, что для обоих игроков в антагонистической игре соответствующие стратегии являются оптимальными.

 

Лемма 1. Для любой антагонистической игры всегда имеет место , или , если соответствующие минимумы и максимумы достигаются. Т.е., в антагонистической игре гарантированный выигрыш одного игрока не может быть больше гарантированного проигрыша другого игрока.

Доказательство: Пусть - гарантирующая стратегия первого игрока, - гарантирующая стратегия второго игрока, гарантированные результаты есть и , и пусть они достигаются на исходах и :

Заметим, что:

(из условия, что - гарантированный результат первого игрока, т.е )

(так, как  , и минимум берется по всем )

 

Аналогичным образом, получаем:

Совмещая эти два  неравенства, получаем:

Ранее было дано определение  положения равновесия через седловую точку. Это определение не является конструктивным. Чтобы получить конструктивное определение, сформулируем следующее утверждение.

 

Лемма 2. Исход игры является ситуацией равновесия тогда и только тогда, когда

Замечание 1. Эта лемма задает определение положения равновесия, эквивалентное определению положению равновесия через седловую точку:

Замечание 2. Лемма дает конструктивное определение положения равновесия.

 

Если в игре есть равновесный  исход, то гарантирующая стратегия  является оптимальной.

Для матричной игры с матрицей условие существования равновесия есть:

В случае игры в пальцы и , т.е., нет положения равновесия. Но игрокам надо как-то сделать выбор. Например, использовав механизм случайности.

3.4. Механизм случайности

 

Зададим для первого  игрока вектор , где — вероятность выбора первым игроком I - ой стратегии, и , - Игрок, применяя механизм случайного выбора, выбирает стратегию .

Стратегии в исходной игре будем называть чистыми стратегиями. Если в игре нет равновесных стратегий  среди чистых, то можно применить  вероятностный подход — рандомизацию. Обозначим P — множество смешанных стратегий первого игрока:

— стандартный симплекс в m-мерном пространстве.

 

Второму игроку также  надо сделать свой выбор. Пусть второй игрок выбирает смешанную стратегию , где — вероятность выбора вторым игроком своей -й чистой стратегии, Q — множество смешанных стратегий второго игрока, .

Таким образом, до применения случайных механизмов имеем смешанный исход игры . Поскольку применяется случайные механизмы, исход и результат игры получаются случайными величинами.

Определим математические ожидания выигрышей игроков при  применении их смешанных стратегий.

Пусть матрица выигрышей  при чистых стратегиях есть:

Тогда вероятность чистого  исхода есть:

Так как  и независимы. Тогда математическое ожидание выигрыша первого игрока есть

Полученная игра с  выбором смешанных стратегий  и математическим ожиданием выигрыша в качестве функции выигрыша первого игрока называется смешанным расширением игры.

Одна из особенностей рандомизации — игрок может получить самый худший вариант, которого он мог избежать, применяя чистые стратегии.

Другая особенность  — замена выигрыша математическим ожиданием выигрыша.

3.5. Нахождение равновесного решения.

 

Разберем простой случай — игра, где у каждого игрока есть по две стратегии. Матрица игры имеет вид:

Если имеется ситуация равновесия, то она достигается применением  гарантирующей стратегии. Пусть  ситуации равновесия не существует.

Можно показать, что у  каждого из игроков спектр его  равновесной смешанной стратегии содержит обе чистые стратегии. Таким образом, если - равновесная стратегия одного из игрока, то .

Приравнивая ожидания, получаем:

Далее, .

Аналогично, для второго  игрока:

3.6. Игровые методы в планировании товарного ассортимента фирмы.

 

Одно из ключевых мест в маркетинге занимает товарная политика. Главная цель товарной политики - это определение набора товарных групп, наиболее предпочтительного для успешной работы на рынке и обеспечивающего эффективную деятельность фирмы. В маркетинге разработаны свои методы и модели для управления товарной политикой фирмы. К ним относится матрица Бостонской Консалтинговой Группы (БКГ). Результат этой модели представлен в виде набора словесных рекомендаций по каждой группе товара.

Фирма выпускает 10 наименований косметических средств. Обозначим:

• Шампунь
• бальзам для волос
• молочко для снятия макияжа
• крем для лица
• лосьон-тоник
• маска для лица
• скарб для тела
• крем для рук
• пенка для умывания
• молочко для тела

При анализе стратегических позиций фирмы на рынке должны быть выявлены основные направления  деятельности в прошлый период и  в настоящее время, главные стратегические установки и их изменения за весь период функционирования фирмы, а также стратегические задачи на будущее. Поэтому одно из ключевых мест в маркетинге занимает товарная политика. Ее осуществление предполагает проведение систематических исследований на всех этапах разработки и совершенствования товара: от выбора концепции нового изделия и конструирования до его финансирования, производства, установления цены, рекламирования, сбыта и технического обслуживания. Товарная политика включает в себя меры по повышению конкурентоспособности изделия, созданию новых видов товаров, оптимизации инновационной деятельности и ассортимента выпускаемых изделий с учетом их жизненного цикла и спроса потребителей. Сейчас практически не существует предприятий, производящих всего один товар. В связи с этим сущность управления ассортиментом заключается в предложении товаров, которые покупатель желает приобрести. При планировании ассортимента продукции применяется матрица Бостонской консультационной группы (БКГ).

 

Матрица БКГ - это трехмерная матрица, координатами которой служат комплексные показатели: "привлекательность рынка товара", " конкурентная позиция предприятия " и "конкурентоспособность товара ". Критерии, оценки и источники информации выбраны исходя из основных направлений маркетинговых исследований при формировании товарной политики. Это исследование возможностей предприятия и конкурентной среды, изучение рынка и учет влияния внешних факторов. Оценка "конкурентной позиции предприятия" осуществляется на основе анализа собственных возможностей по сравнению с конкурентами. Расчет показателя "привлекательность рынка" требует данных о динамике рынка товаров. При этом учитываются внешние факторы, а именно государственная политика, риск и др. Показатель "конкурентоспособность товара" оценивается с помощью технико-экономических показателей собственных товаров и товаров-конкурентов. Методика расчета комплексных показателей основана на бальных оценках критериев и их коэффициентах значимости, устанавливаемых экспертами. В качестве экспертов могут выступать специалисты службы перспективного развития, отдела маркетинга и руководства фирмы. Бальные оценки, проставляемые экспертами, принимают значения от 1 до 10.

Введем следующие обозначения: - количество товаров, рассматриваемых в ассортиментной политике; - индекс товара( ); - номер комплексного показателя ; - количество критериев, используемых для расчета - го показателя; - номер критерия( ); - вес критерия по - му показателю( ); - значение i- го критерия по -му показателю товара t (бальная оценка).

Фактическая оценка i-го критерия по k - му показателю товара t с учетом весовых коэффициентов:

Идеальное, т. е. максимальное или наилучшее, значение i-го критерия по k-му показателю товара t с учетом весовых коэффициентов:

Значение k-го показателя по товару t , выраженное в процентах, рассчитывается по формуле:

Значения комплексных  показателей  попадают в один из интервалов: от 0 до 33, от 33 до 67, от 67 до 100. Вследствие такого разбиения значений показателей на 3 интервала анализируемый товар занимает одно из 27 возможных положений в трехмерной матрице позиционирования товара.

 

Номера кубиков данной матрицы соответствуют номерам  маркетинговых стратегий, которые  рекомендуется применять при  планировании товарного ассортимента. Выделяются 5 основных стратегий 22 дополнительные, развивающие и конкретизирующие основные стратегии. Они служат для выработки действий предприятия в части изменения рыночной доли, проведения инвестиционной, программной и сбытовой политики в соответствии с занимаемым статусом товара.

 

Маркетинговой стратегии  №1 подчиняются товары, пользующиеся повышенным спросом, которые к тому же отличаются превосходным качеством. С целью удовлетворения спроса потребителей фирма выпускает большое количество модификаций продукции. Происходит рост продаж до достижения максимума. Однако все больше предприятий выходит с такими же товарами на рынок. Из-за усиления конкуренции цены падают. Поэтому возрастает роль цены как фактора, определяющего покупку.

 

Маркетинговой стратегии  №2 подчиняются товары, подлежащие снятию с производства. Объем реализации этих товаров падает. Фирмы начинают выходить из конкурентной борьбы, количество конкурентов уменьшается. Цены на товары низкие. Прибыль резко сокращается. Эти товары постепенно заменяются новыми, отвечающими требованиям рынка.

Маркетинговая стратегия  №3 применяется к товарам, которые требуют усовершенствования и модернизации. Здесь требуются значительные инвестиции. Товарная политика подвержена жесткой специализации. Такая политика оказывается оптимальной для эффективной деятельности небольшой фирмы или когда фирма периодически меняет специализацию, используя ее для освоения новых рынков или адаптируясь к меняющемуся спросу.

 

Маркетинговой стратегии №4 подчиняются  товары "новой волны". Фирма  выходит на рынок с принципиально  новым товаром и обычно занимает исключительное положение на рынке. Конкуренции практически нет. Прибыли пока тоже нет или она еще очень незначительна. Покупатель инертен по отношению к только что появившемуся товару. Необходимо убедить покупателя испытать новый товар. Также данная стратегия рекомендуется для товаров, которые начинают массово продаваться. Растет объем реализации, фирма начинает получать прибыль.

 

Маркетинговая стратегия №5 рекомендуется  для товаров, активно продающихся  на рынке. Рынок насыщен данным видом  товара. Уменьшается объем продаж этих товаров. Основной спрос исходит от консервативных покупателей, в то время как новаторы ищут товар-заменитель. Фирма стремится к дальнейшему совершенствованию продукта и ищет для него новые сферы применения.

 

Значения матрицы выигрышей  для игроков находим как расстояния между точками в трехмерном единичном кубе по формулам:

Где (x1,x2,x3), (y1,y2,y3) -координаты товаров в кубе, r - расстояние между товарами в кубе.

 

Пусть первый игрок - это << Конкурент >>, а второй - << Фирма >>. Стратегии игрока 1 расположены по строкам, а игрока 2 - по столбцам матрицы выигрышей. Рассмотрим алгоритм фиктивного разыгрывания на примере игры этих двух игроков (1 - << Конкурент >>, 2 - << Фирма >>) с нулевой суммой с функцией игры: . , - наборы стратегий игроков.

1. Разыгрывается игра с( ) – матрицей
2. В первой партии оба игрока выбирают совершенно произвольные чистые стратегии (например, первого столбца и первой строки соответственно). 
   Пусть векторы - смешанные стратегии игроков 1 и 2 соответственно, тогда можно считать разумным следующее их поведение:
3. Игрок 1 выбирает такую чистую стратегию i из набора своих 10 стратегий x, которая максимизирует его средний выигрыш , при условии, что игрок 2 использует свою смешанную стратегию .
4. Игрок 2 выбирает такую чистую стратегию j из набора своих 10 стратегий y, которая минимизирует его средний проигрыш , при условии, что игрок 1 использует свою смешанную стратегию . Итак, предположим, что за первые k разыгрываний игрок 1 использовал i- ю стратегию , раз , а игрок 2 - j-ю стратегию , раз . Тогда в (k+1)-й стратегии игрок 1 будет использовать -ю стратегию , а 2 – свою - ю стратегию, - значение матричной игры. 
   Значение игры ограничено сверху и снизу:  
   С помощью этого итеративного процесса находим приближенное решение задачи и .