Определение числового ряда. Сходимость ряда

Определение числового ряда. 
Сходимость ряда.

 

  Бесконечным числовым рядом называется выражение

u1+u2+...+un+... ,

(1)

содержащее неограниченное число  членов, где

u₁ , u₂ , u₃ , ... , u_n , ...

- бесконечная числовая последовательность; u_n называется общим членом ряда. 
  Для составления ряда нужно знать закон образования общего члена. 
  Например, если u_n = 2*n+1, то ряд имеет вид:

3, 5, 7, 9, ..., 501, 503, ..., n*2+1

 
  Если u_n = (-1)ⁿ, то ряд имеет вид:

-1, +1, -1, +1, ..., -1, +1, ..., (-1)ⁿ  

Сумма первых n членов ряда обозначается символом S_n и называется частичной суммой этого ряда. Таким образом,

S_n = u₁ + u₂ + ... + u _n

или, короче,

 

 

  Определение: Ряд называется сходящимся, если сумма первых его n членов при n®¥ стремится к конечному пределу S, называемому суммой ряда. 
  Если ряд (1) сходится, т.е. имеет сумму S, то пишут

S = u₁ + u₂ + ... + u _n + ...  

Если же при n®¥ сумма S_n не имеет предела или

 

то ряд (1) называется расходящимся и не имеет суммы. 
   Типичным примером сходящегося ряда может служить ряд, полученный из бесконечно убывающей геометрической прогрессии

a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 + ...,

(2)

где

-1 < q < 1   

Действительно, для этого ряда

Sn = a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 =

 

  При n®¥   qⁿ®0 (так как | q |<1), поэтому

 

и ряд (2) будет сходящимся. Таким образом можно написать

= a + aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n-1 + ... .

 

  Если q = 1, то ряд (2) имеет вид

a + a + a + a + ... + a + ... .

(3)

 

  Сумма S_n первых его n членов, равная na, по абсолютной величине неограниченно возрастает при неограниченном возрастании числа n. Таким образом, ряд (3) - расходящийся. 
  Если q = -1, то ряд (2) примет вид

a - a + a - a + a - a +... +(-1)n-1 a + ... .

(4)

 

  Ясно, что для  этого ряда

S_2n=0 ,   S_2n-1=a.

т.е.сумма четного числа первых 2n членов ряда (4) стремится к нулю, а сумма нечетного числа первых 2n-1 его членов стремится к a. 
  Отсюда следует, что ряд (4) расходится, так как в сходящемся ряде как S_2n так и S_2n-1 стремятся к одному и тому же пределу S. 
  Ясно, что если | q |>1, то ряд (2) является также расходящимся.

 

 

 

 

Признаки схода

Необходимый признак сходимости числового  ряда.

 

  Теорема: Пусть числовой ряд

u1+u2+...+un+... ,

(1)

сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член u_n стремится к нулю  
Доказательство. Из условия теоремы имеем       

 

Так как

S_n - S_n-1 = u_n

то

 

 

  Следует отметить, что этот признак является лишь необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, так как можно указать ряд, для которого выполняется равенство

,

а он, однако не является сходящимся. 
  Так гармонический ряд

,

для которого

,

расходится. 
  Но согласно доказанному необходимому признаку сходимости ряда, если

,

то ряд (1) расходится. 
  В самом деле, если бы он сходился, то

 

равнялся бы нулю. 
  Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы S_n, сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд

,

расходится, так как

,