Основы аналитической геометрии и дифференциальных исчислений

Расстояние между  двумя точками M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2) в пространстве (на плоскости) определяется формулой:  d=√(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2. На плоскости – по рисунку, теорема Пифагора.

2. Деление отрезка в данном отношении.

Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок , ограниченный точками M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2), в отношении λ, определяется по формулам x=(x1+λx2)/(1+λ); y=(y1+λy2)/(1+λ); z=(z1+λz2)/(1+λ). При λ=1 – координаты середины отрезка: x=(x1+x2)/2; y=(y1+y2)/2; z=(z1+z2)/2.

3. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом.

В декартовых координатах  каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение  первой степени определяет прямую. Уравнение вида Ax+By+c=0 называется общим уравнением прямой. Α - угол наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой: k=tgα, из общего уравнения k=-A/B. Уравнение y=kx+b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат. Уравнение прямой по двум точкам M1(x1,y1) и M2(x2,y2): (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1), тогда k=(y2-y1)/(x2-x1). Уравнение прямой по точке M0(x0,y0) и угловому коэффициенту k: y-y0=k(x-x0).

4. Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости.

Если известны угловые коэффициенты  и  двух прямых, то один из углов  между этими  прямыми определяется по формуле  tgφ=(k2-k1)/(1+k1k2). Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: k1=k2. Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение k1k2=-1, или k1=-1/k2. Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.  

Эллипсом  называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между  фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов  принято обозначать через 2а. Фокусы эллипса обозначают буквами  F1 и F2, расстояние между ними - через 2с. По определению эллипса 2a>2c или a>c . Пусть дан эллипс. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат каноническое уравнение данного эллипса имеет вид x^2/a^2+y^2/b^2=1, где b=√a^2-c^2.

При указанном  выборе системы координат оси  координат являются осями симметрии  эллипса, а начало координат - его  центром симметрии. Оси симметрии  эллипса называются просто его осями, центр симметрии - просто центром. Точки, в которых эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами. Если a=b, то уравнение определяет окружность, рассматриваемую как частный случай эллипса. Число ε=c/a, где а - большая полуось, называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, ε<1 (для окружности ε=0 ). Если эллипс определен каноническим уравнением и a>b, то прямые x=-ε/a и x=ε/a называются директрисами эллипса (если b>a, то директрисы определяются уравнениями y=-ε/b и y=ε/b). Каждая директриса обладает следующим свойством: если r - расстояние от произвольной точки эллипса до некоторого фокуса, d - расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: r/d=ε.

Гиперболой называется геометрическое место точек, для  которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называеых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется  по абсолютному значению и обозначается через2а. Фокусы гиперболы обозначают буквами  F1 и F2, расстояние между ними - через 2с. По определению гиперболы 2a<2c или a<c . Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид x^2/a^2-y^2/b^2=1, где b=√с^2-а^2. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы. Отрезки длиной 2a и 2b, соединяющие середины сторон основного прямоугольника гиперболы, также называют ее осями. Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженного) являются асимптотами гиперболы, их уравнения: y=(b/a)x и y=-(b/a)x. Прямая L называется асимптотой неограниченной кривой K, если расстояние d от точки M кривой K  до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки M вдоль кривой K от начала координат. Гипербола называется равносторонней, если a=b, её каноническое уравнение: x^2-y^2=a^2, её асимптоты являются биссектрисами координатных углов (y=x; y=-x).

При параллельном сдвиге осей: x=x’+a; y=y’+b; где x, y - координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей; x’, y’ - координаты той же точки относительно новых осей, a, b - координаты нового начала O’ относительно старых осей (или a - величина сдвига в направлении оси абсцисс, b - величина сдвига в направлении оси ординат).

При повороте осей на угол α:  x=x’cosα-y’sinα;  y=x’sinα+y’cosα.

При параллельном сдвиге системы осей на величину а  в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол α: x=x’cosα-y’sinα+a;  y=x’sinα+y’cosα+b. Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе.

10. Определение предела функции.

Пусть есть функция  f(x), которая определена в некоторой окрестности точки а: (а-∆; а+∆), ∆>0, за исключением, быть может, самой точки а. Число А называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к a, если для любого положительного числа ε, как бы мало оно ни было, существует такое положительное число δ, что для всех x, удовлетворяющих неравенству 0<|x-a|<δ, справедливо неравенство |f(x)-A|<ε. Говорят “предел функции в точке a” и обозначают  lim f(x)=A. Неравенство |f(x)-A|<ε для всех 0<|x-a|<δ0<|x-a|<δ, эквивалентное неравенствам A-ε<f(x)<A+ε и a-δ<x<a+δ, означают, что для любого ε>0 существует такое δ, что для a-δ<x<a+δ график функции f(x) расположен на плоскости x0y в прямоугольнике  (a-δ; a+δ)x(A-ε; A+ε).

(√(x-c)^2+y^2)+ (√(x+c)^2+y^2)=2а. Это уравнение эллипса, которому будут удовлетворять координаты каждой точки эллипса. Однако пользоваться им неудобно, поэтому приведем его к более простому виду. Для этого перенесем первый корень уравнения в правую часть и возведем обе части равенства в квадрат:   или . Возведем последнее равенство еще раз в квадрат: , откуда . Так как, по условию, a > c, то a2 - c2 > 0 и мы можем ввести в новую величину b=√a^2-c^2.

Тогда уравнение (5) можно переписать в  виде  . Разделив обе части равенства на a2b2, получим каноническое уравнение эллипса: x^2/a^2+y^2/b^2=1.

Пусть на плоскости  хОу дана прямая. Проведем через  начало координат перпендикуляр  к данной прямой и назовем его  нормалью. Обозначим через Р точку  пересечения нормали с данной прямой и установим положительное  направление нормали от точки  О к точке Р. Если  α - полярный угол нормали, р - длина отрезка  OP, то уравнение данной прямой может быть записано нормальном виде: xcosα+ysinα-p=0. Пусть дана какая-нибудь прямая и произвольная точка M1; обозначим через d расстояние от точки М1 до данной прямой. Отклонением δ точки от прямой называется число +d, если данная точка и начало координат лежат по разные стороны от данной прямой, и -d, если данная точка и начало координат расположены по одну сторону от данной прямой. (Для точек, лежащих на самой прямой, δ =0). Если даны координаты точки M1 (x1,y1)  и нормальное уравнение прямой  xcosα+ysinα-p=0, то отклонение δ точки от этой прямой может быть вычислено по формуле: δ=x1cosα+y1sinα-p. Т.е., чтобы найти отклонение какой-нибудь точки M1 от данной прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой прямой вместо текущих координат подставить координаты точки M1. Полученное число будет равно искомому отклонению. Чтобы найти расстояние d от точки до прямой, достаточно вычислить отклонение и взять его модуль: d=|δ|. Если дано общее уравнение прямой , то, чтобы привести его к нормальному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель μ, определяемый формулой  μ=1/(√A^2+B^2). Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена нормируемого ур-я.

Коническое  сечение с единичным эксцентриситетом е=1: выберем на плоскости точку F и прямую d и зададим вещественное число e > 0, тогда геометрическое место  точек M, для которых отношение  расстояний до точки F и до прямой d равно e раз, является коническим сечением. То есть, если M' есть проекция M на d то |FM|=e|MM’|. Эллипс (e=1/2), парабола (e=1) и гипербола (e=2). Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат: y^2=2px (или x^2=2py, если поменять местами оси). Вывод: Уравнение директрисы PQ: x+p/2=0, фокус — F(p/2;0), таким образом начало координат O — середина отрезка CF. По определению параболы для любой точки M, лежащей на ней выполняется равенство KM=FM.  KM=KD+DM=p/2+x и FM=√((x-p/2)^2+y^2) , тогда равенство приобретает вид:

, откуда получаем y^2=2px.

Т.1: предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е. . Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть .Тогда f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x), где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно, f(x)+g(x)=(b + c)+(α(x)+β(x)). Т.к. b+c - постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то . Т.2: предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций: . Пусть , следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и fg=(b+α)(c+β)=bc+(bβ+cα+αβ). Произведение bc есть величина постоянная. Функция (bβ + cα + αβ) на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому . Следствие 1: постоянный множитель можно выносить за знак предела: ; следствие 2: предел степени равен степени предела: .

Пусть дана функция  Тогда фнкция f называется: 1) возраста́ющей на M, если ;

2) стро́го возраста́ющей  на M, если  ;

3) убыва́ющей  на M, если  ;

4) стро́го убыва́ющей  на M, если .

15. 2-й замечательный предел.

  для раскрытия неопределенностей  типа 1в степени ∞. в формуле  для второго замечательного предела  в показателе степени должно  стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице  в основании (так как в этом  случае можно ввести замену  переменных и свести искомый  предел ко второму замечательному  пределу). 

21. Производная частного.

23. Производная tg x,ctg x.

При помощи правила  дифференцирования частного

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x0, если она  определена в этой точке и в  некоторой окрестности содержащей x0 и  . Условия непрерывности: 1) f(x) определена в точке x0 и в некоторой её окрестности; 2) имеет предел при x → x0; 3)этот предел равен значению функции в точке x0. Если функция y=f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (a; b), где a < b, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале. Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть.Значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках. Точки разрыва. 1) в точке функция имеет устранимый разрыв первого рода, если предел слева равен пределу справа, но они не равны значению функции в точке ,то есть . 2) В точке функция имеет неустранимый разрыв первого рода, если пределы слева и справа НЕ равны, то есть . 3) В точке х0 функция имеет разрыв второго рода, если либо предел слева , либо предел справа , не существует или бесконечен.

Функция  sinx/x не определена при x=0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Однако, можно найти предел этой функции при х→0: . Доказательство: рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что уг ол α, выраженный в радианах, заключен в пределах 0 < α < π/2. (Так как  sinx/x - четная функция, и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α > 0.) Из рисунка видно, что SΔOAC <Sсект.OAC <SΔOBC. Т.к. указанные площади соответственно равны SΔOAC=0,5∙OC∙OA∙sinα=0,5sinα, Sсект.OAC=0,5∙OC2∙α=0,5α, SΔOBC=0,5∙OC∙BC=0,5tgα. Следовательно, sin α < α < tg α. Разделим все члены неравенства на sin α > 0: . Но , тогда .

Выведенная формула  и называется первым замечательным  пределом.

По определению  производной:

По формуле  разности синусов:

тогда при помощи первого замечательного предела  получаем .

Аналогично для  косинуса:

Основное  понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения  функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента  при стремлении приращения аргумента  к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Обозначения:

Геометрический  смысл. Пусть f(x) определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки х0. Касательной прямой к графику функции f(х) в точке x0 называется график линейной функции, задаваемой уравнением y=f(x0)+f’(x0)(x-x0), x€R. Если функция f имеет в точке x0 бесконечную производную f’(x0)=+-∞, то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением  x = x0.

Физический смысл: производная функции y = f(x) в точке x0 выражает скорость изменения функции  в точке x0, то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f(x).

(lnx)’=lim (ln(x+∆x)-lnx)/∆x=lim (ln (x+∆x)/x)/∆x=lim 1/∆x ln(1+∆x/x)=lim ln (1+∆x/x)в степени 1/∆x=lim ln (1+∆x/x)в степени (1/∆x)*x/x=lim (1/x ln (1+∆x/x) в степени x/∆x)=1/xlim ln (1+∆x/x) в степени x/∆x, применяя 2й замечательный предел получаем: (1/x)*lne=1/x.

Функция y(x)=arcsinx определена на открытом интервале (-1;1);  sin(arcsinx)=x. Продифференцировав это равенство получаем: cos(arcsinx)*(arcsinx)’=1, откуда т.к. cos(arcsinx)=√1-sin^2(arcsinx) получаем (arcsinx)’=1/(1-x^2).

y(x)=arctgx, тогда x(y)=tg(y) и по теореме о производной обратной функции получаем: (arctgx)’=1/(tgy)’=cos^2(y)=cos^2(arctgx)=1/(tg^2(arctgx)+1), но tg(arctgx)=x, получаем: (arctgx)’=1/(x^2+1)

30. Производная неявной функции.

Пусть F(x,y)=0 определяет y на как неявно заданную функцию от x. Тогда для нахождения производной y’: 1) дифференцируем по х обе части уравнения; 2) из полученного уравнения выражаем y’.

31.Производная функции, заданной параметрически.

Пусть y(x) задана параметрически через неких параметр t: x=f(t) & y=g(t), тогда y’(x)=dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)=y’(t)*t’(x) =y’(t)/x’(t)

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Рассмотрим приращение функции в этой точке: ∆f(x)=f(x0+∆x)-f(x0) . Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение можно записать в виде ∆f(x)=A∆x+a(∆x)∆x, где ∆x- приращение независимой переменной, А – постоянная, не зависящая от ∆x, a(∆x)- бесконечно малая функция при ∆x→0.  Дифференциалом функции  f(x) в точке x0 называется линейная по  ∆x часть приращения ∆f(x). Дифференциал обозначается  df , то есть  df=A∆x. Рассматривая функцию f(x)=x, нетрудно убедиться, что dx=∆x, если  x - независимая переменная. Воспользуемся определением производной для дифференцируемой функции y=f(x) в точке x0: y’=lim∆x→0 ∆f(x)/∆x=lim∆x→0(A+a(∆x))=A. Таким образом, дифференциал функции выражается формулой  dy=y’dx, то есть для вычисления дифференциала необходимо лишь вычислить производную и умножить ее на dx. Поэтому часто слова “вычисление производной” и “дифференцирование” считают синонимами. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная. Геометрический смысл - приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.

Если  функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [а, b], имеет внутри интервала  производную и  если  f(a) = f(b), то внутри интервала [а, b] найдется хотя бы одно такое  значение x0 (a < x0 < b), что  f ' (x0) = 0.

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1. Функция  f(x) постоянна на интервале [а, b]; тогда f ' (x) = 0 для любого x (a < x < b), т.е. утверждение теоремы  Ролля выполняется автоматически.

2. Функция  f(x) не является постоянной (Рисунок  1); тогда наибольшего или наименьшего  или обоих этих значений она  достигает во внутренней точке  интервала, ибо f(b) = f(a), и если f(a) - наименьшее значение, то наибольшее  значение значение функция f(x) примет внутри интервала.

Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется  составить уравнения касательной  и нормали. Угловой коэффициент k1 касательной к кривой y = f(x) в точке M (x1 ; y1) равен значению f '(x1) производной   y'=f'(x) при x = x1. Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде y - y1 = f '(x1)(x - x1). Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен k2=-1/k1= -1/f’(x1), а уравнение записывается в виде  y-y1=(-1/f’(x))*(x-x1).

Цепное правило (правило дифференцирования сложной  функции) позволяет вычислить производную  композиции двух и более функций  на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x0, а функция g имеет производную в точке y0 = f(x0), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x0. Правило дифференцирования сложной функции (композиции функций) f(g(x)): df(g(x))/dx=f’(g(x))*g’(x). Если необходимо взять производную от композиции трех и более функций, то последовательно применяем это правило: df(g(h(x)))/dx=f’(g(h(x)))*g’(h(x))*h’(x).

28. Производная обратной функции.

Пусть  y(x) - дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале (a;b). Если в уравнении y=f(x) y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция x=ϕ(y), где f[ϕ(y)]≡y - функция обратная данной. Тогда производные этих функций (отличные от нуля) связаны соотношением: y’(x)=1/x’(y). Доказательство:

Пусть y=f(x) - дифференцируемая функция, y’(x)=f’(x)≠0. Пусть ∆y≠0 - приращение независимой переменной y; Δx - соответствующее приращение обратной функции x=ϕ(y).  Тогда ∆x/∆y=1:(∆y/∆x). Переходя в этом равенстве к пределу при ∆y→0, которое влечет за собой стремление  к нулю ∆x (∆x→0), получим: , где x'(y) - производная обратной функции.

Теорема Ролля  имеет простое геометрическое толкование: если дана дуга AB кривой y = f(x), в каждой точке которой существует касательная, причем концы A и B находятся на одинаковом расстоянии от оси Ox, то на этой дуге найдется по крайней мере одна точка, в которой касательная t к кривой будет параллельна стягивающей дугу хорде, а следовательно и оси Ox (смотри рисунок 1). Если повернуть оси координат на угол a, то концы A и B дуги AB уже не будут находится на одинаковом расстоянии от оси Ox', но касательная t по прежнему будет параллельна хорде AB (смотри рисунок 1). Поэтому естественно ожидать, что имеет место теорема: Если дана дуга AB кривой y = f(x) с непрерывно изменяющейся касательной, то на этой дуге найдется хотя бы одна точка, в которой касательная параллельна стягивающей ее хорде AB (Рисунок 2). - Эта теорема является геометрической перефразировкой следующей теоремы, известной под названием теоремы Лагранжа.