Правило Лопиталя (раскрытие неопределённостей)

Правило Лопиталя (раскрытие неопределённостей):

Будем говорить, что отношение f(x)/g(x) представляет собой неопределенность вида 0/0 при x®а, если lim_x®аf(x)= lim_x®аg(x)=0. Раскрыть эту неопредел-сть – это значит найти lim_x®аf(x)/g(x), если он существует.

Теорема №1: Пусть f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки х=а, за исключением, быть может, самой точки a, lim_x®аf(x)= lim_x®аg(x)=0, g(x) и g'(x)¹0 в этой окрестности. Тогда, если существует lim_x®аf'(x)/g'(x), то существует lim_x®аf(x)/g(x) и имеет место равенство lim_x®аf(x)/g(x)=lim_x®аf'(x)/g'(x) {1}. Доказательство: Будем считать, что а – конечное число. (В случае а=¥ см. ниже замечание 3.) Доопределим функции f и g в точке х=а, полагая f(a)=g(a)=0. Тогда эти функции будут непрерывны в точке а. Рассмотрим отрезок [а,х], где х>а или х<а. На [а,х] функции f и g непрерывны, а на (а,x) дифференцируемы, поэтому по теореме Коши существует точка S такая, что (f(x)–f(a))/(g(x)–g(a))=f'(x)/g'(x) (при xÎ(а,x)) или f(x)/g(x)=f'(x)/g'(x).

Когда х®a и, то и x®a, поэтому в силу условия теоремы имеем lim_x®аf(x)/g(x)=lim_x®аf'(x)/g'(x) =lim_x®аf'(x)/g'(x) {2}при условии, что предел в правой части равенства существует. Этим теорема доказана. Замечания: [1] Если предел справа в {1}не существует, то предел слева может существовать.

[2] Если выражение f'(x)/g'(x) представляет неопределенность вида 0/0 г и функции f'(x), g'(х) удовлетворяют условию теоремы №1, то lim_x®аf(x)/g(x)=lim_x®аf'(x)/g'(x)= lim_x®аf''(x)/g''(x)

При этом эти равенства надо понимать в том смысле, что если существует третий предел, то существует и второй и первый. Теорема №2 (¥/¥): Пусть f и g определены и дифференцируемы в окрестности точки х=a, lim_x®af(х)= lim_x®ag(х)=¥, g(x) и g'(x)¹0 в этой окрестности, тогда, если $lim_x®аf'(x)/g'(x), то $lim_x®аf(x)/g(x). [3] Если а=¥, то замена х=1/t сводит дело к а=0:

Выражаемые теоремами №1, 2 правила, в силу которых вычисление предела  отношения функций может быть сведено к вычислению предела отношения их производных, наз. правилом Лопиталя по имени математика, который сформулировал это правило, правда, для весьма простых случаев. Впрочем, это правило было известно И. Бернулли до Лопиталя.