Производная степенной функции

№15 Производная степенной  функции.

Формула для вычисления производной степенной функции  xn, где n — произвольное натуральное число, большее 1, такова:

(xn)’=nxn-1 (1)

Формула производной  функции х2 уже известна: (х2)' = 2х. Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем:

(x3)’=( x2⋅x)’= (x2)’x+ x2(x)’= 2x⋅x + x2⋅1=3 x2;

(x4)’=( x3⋅x)’= (x3)’x+ x3(x)’= 3x2⋅x+ x3⋅1=4x3. Заметим теперь, что

(x2)’=2x2-1, (x3)’=3x3-1, (x4)’=4x4-1,

т.е. для n, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для n, равного 5, 6 и т. д. Докажем, что формула (1) верна для любого натурального n>4.  Допустим, что формула (1) верна при n = k, т. е. что

(xk)’=kxk-1. Покажем, что тогда формула (1) верна при n = k+1. Действительно,

(xk+1)’=(xk⋅x)’=( xk)’⋅x + xk⋅(x)’= kxk-1⋅x + xk = (k+1) xk

Поэтому из того, что  формула (1) верна при п = 4, следует, что она верна и при n = 5, но тогда она верна и при п = 6, а следовательно, и при n = 7 и т. д. до любого n∈ N (строгое доказательство основано на методе математической индукции).

Если n = 1 или n = 0, то при х≠0 эта формула также справедлива. Действительно, по формуле (1) при х≠0

(x1)’=1⋅x1-1 = 1⋅x0 =1,

(x0)’=0⋅x0-1 = 0,

что совпадает со значениями производных функций  х и 1, уже известными из предыдущего пункта.  Пусть, наконец, п — целое отрицательное число, тогда n = —m, , где т — число натуральное. Применяя правило дифференцирования частного и пользуясь уже доказанной для натуральных т формулой (1), получаем при х≠0: 

В результате можно  сделать вывод:

Для любого целого n и любого x (x≠0 при n≤1)

(xn)'=nxn-1