Проверка статистических гипотез

Проверка  статистических гипотез

1. Основные определения
2. Проверка гипотезы о равенстве ген. средних
3. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
4. Проверка гипотезы о виде з-на распред-я ген. совокупности

I  Статистическая гипотеза

любое предположение о  виде неизвестного з-на распред-я СВ или значении его параметров. 

Виды  гипотез

1 нулевая Н₀

(выдвинутая  Г., которую необходимо  проверить)

Н₀: а = 2

(а – генеральная средняя) 

2 конкурирующая Н₁

(противоположная  нулевой Г.)

а) Н₁: а < 2

б) Н₁: а > 2

в) Н₁: а ≠ 2 

Статистический  критерий

однозначно  определенное правило, устанавливающее  условия, при которых  проверяемую гипотезу Н₀ следует либо принять, либо отвергнуть

Доверительная вероятность

  р – вероятность, признаваемая достаточной для суждения о достоверности выборочных характеристик.

Уровень значимости α = 1 – р – достаточно малая вероятность, при которой событие можно считать невозможным

Мощность  критерия 1 - b  

а) Н₁: а < 2 (левосторонняя проверка)

б) Н₁: а > 2 (правосторонняя проверка)

в) Н₁: а ≠ 2 (двусторонняя проверка)

        Н₁    Н₀

(1-р%)      (р%)

   _{граничная точка}

 

         Н₀    Н₁

   (р%)      (1-р%)

    _{граничная точка}

              (р%)

Н₁          Н₀         Н₁

Ошибки  при проверке

I рода 

   Н₀ верна, но ее отвергают согласно критерию

II рода 

  Н₀ неверна, и ее принимают согласно критерию 

α - вероятность ошибки I рода

b - вероятность ошибки II рода

Число степеней свободы – разность между кол-вом измеряемых значений и кол-вом линейных связей между ними.

II  Проверка Г. о равенстве ген. Средних

Х и Y – ген. совокупности, знач-я признака в кот-х распред-ны по норм. з-ну, ген. дисперсии σ²₁ и σ²₂  и ген. МО а_x и а_y неизвестны.

  Выборки объемом  n₁ и n₂ несвязные.

Условие достоверности:

n → ∞ или σ²₁ = σ²₂  

При σ²₁ = σ²₂   Н₀: a_x = a_y.

1. Статистика:

 

критерий

Стьюдента

где,

имеет ν = n₁ + n₂ – 2 степеней свободы.

2) Границы крит. области t_кр находят по табл. распр-я Стьюдента при двусторонней крит. обл. для заданного α , при одностор-й крит. обл. – для 2α.

3) Правило проверки гипотезы:

(в  случае Н₁ : a_x ≠ a_y)

при                  Н₀ отвергается,

при                  Н₀ принимается 
 

III  Проверка Г. о равенстве ген. Дисперсий

Условия аналогичны.

1) Вычислено: S²₁  > S²₂ (см. ранее)

Н₀: σ²₁ = σ²₂

Н₁: σ²₁ > σ²₂

2) Статистика:               критерий

                                             Фишера

2. Границы крит. области F_кр находят по табл. Фишера при заданном α, где число степеней свободы ν₁ = n₁ - 1,  ν₂ = n₂ – 1
3. 4) Правило проверки гипотезы:
4. P (F_p > F_кр) = α

при                  Н₀ не отвергается,

при                  Н₀ отвергается

Согласование  теоретической и  эмпирической кривых распределения.

Н₀: m₁/n₁ = p₁, m₂/n₂ = p₂, … , m_i/n_i = p_i

m_i/n_i – частость i-го интервала НВР или i-ой варианты ДВР,

  p_i – вероятность попадания НСВ в

i-ый интервал или принятия ДСВ i-го значения.

Критерий  Пирсона χ²

m _{эмп i} – эмпирическая частота i-го интервала или i-ой варианты

m _{теор i} – теоретическая частота

l – число интервалов (вариантов) 

число степ. своб. ν = l - r – 1

r – кол-во параметров предполагаемого теор. з-на, используемого для вычисления теор. частот.

Условия:

n ≥ 50

5 < m _{теор i} < 10

∑ m _{теор i} = ∑ m _{эмп i}

Нормальный  закон распределения

Условия расчета теор. кривой распр-я: x = a, S = σ

ν = l – 3  

Расчет  вероятности попадания  СВ в i-ый интервал:

где                        - аргументы

четной  функции Лапласа 

Правило проверки гипотезы:

при χ_р ² < χ_кр ²  Н₀ принимается,

при χ_р ² > χ_кр ²  Н₀ отвергается