Роль задач в процессе обучения математике

С методической точки зрения чертеж – важнейшее средство наглядности, значение которого для обучения геометрии трудно переоценить. Особенно значительную роль играют чертежи в курсе геометрии основной школы, так как они, в отличие от старших классов, достаточно легко выполнимы и отражают истинное положение фигуры на плоскости.

При построении чертежа следует выполнять ряд требований. Сформулируем основные из них.

1. Чертеж должен представлять собой схематический рисунок основного объекта задачи (геометрической фигуры, или совокупности фигур, или какой–то части этих фигур).

2. Все элементы фигуры и некоторые ее характеристики должны быть обозначены на чертеже с помощью букв и других знаков.

Если в тексте задачи указаны какие–либо обозначения фигуры или ее элементов, то эти обозначения должны быть и на чертеже; если же в тексте никаких обозначений нет, то следует воспользоваться общепринятыми или наиболее удобными в данном конкретном случае.

3. Чертеж к геометрической задаче должен отражать наиболее общий случай вида и расположения основного ее объекта.

Это означает, что если в задаче в качестве основного объекта назван, например, треугольник и при этом не указан его вид,  то следует построить разносторонний непрямоугольный треугольник. Или если в задаче основным объектом является трапеция, то не следует строить равнобедренную или прямоугольную трапецию и т.д.

4. При выполнении чертежа желательно соблюдать заданные в условии  пропорции в построении отдельных элементов фигуры.

Это не значит, что необходимо строго выдерживать масштаб. Однако, если по условию задачи сторона АВ треугольника АВС наибольшая, то это должно быть соблюдено на чертеже. Или если задана медиана треугольника, то она должна проходить через одну из вершин и приблизительно через середину противоположной стороны. Надо соблюдать также такие заданные в условии задачи  отношения, как параллельность, перпендикулярность и т.п.

5. Чертеж существенно облегчит процесс решения задачи, если он верен, легко выполним, нагляден.

Построение чертежа, как правило, сопровождает краткая запись всех условий и требований геометрической задачи. В ней, пользуясь принятыми на чертеже обозначениями, записываются все характеристики и отношения, указанные в условии задачи.

При этом названия фигур или отдельных ее частей следует заменять схематической записью их определений. Так, вместо того, чтобы писать, что ABCD – трапеция, лучше записать, что AB ║ CD.

В краткой записи, так, где это возможно и целесообразно, следует использовать стандартный математический символический язык, т.е. знаки =, ║, и т.п.

Заметим, что эти рекомендации не носят тотального характера, при решении некоторых геометрических задач чертеж и краткая запись могут быть выполнены иначе. Приведем пример построения чертежа и выполнения краткой записи одной интересной геометрической задачи.

Пример. Задача. Диагональ трапеции перпендикулярна к ее основаниям; тупой угол, прилежащий к ее основанию, равен 120˚, а боковая сторона, прилежащая к нему, равна 7 см; большее основание равно 12 см. Найти среднюю линию трапеции.

Основной объект задачи – трапеция, в которой одна из диагоналей перпендикулярна ее основаниям.

Если начинать чертить эту трапецию обычным способом с построения ее сторон, ошибка практически неизбежна, т.к. нестандартное положение занимает диагональ трапеции: она должна быть перпендикулярна ее основаниям. Поэтому наиболее оптимальный путь – построение этой диагонали, которую можно представить в качестве вертикального отрезка, от концов которого строятся два горизонтальных отрезка, – основания трапеции, направленные в разные стороны от диагонали. Строим тупой (по условию) угол при большем (обычно нижнем) основании. Вторая его сторона пересечет меньшее основание в одной из вершин трапеции. Достраиваем трапецию, придерживаясь заданных пропорций, проводим в ней среднюю линию, вводим стандартные обозначения тупого угла при большем основании (Рис. 5).

Рис. 5.



2.2. Методика обучения решению стандартных геометрических задач.

Как мы уже говорили, стандартные геометрические задачи – это такие задачи, которые решаются с помощью одной теоремы, одного определения геометрического понятия и т.п. Тем не менее, не всегда процесс решения такой задачи проходит гладко. Дело в том, что в конкретной теореме, определении конкретной геометрической фигуры алгоритм применения их к определенной стандартной геометрической задаче находится в свернутом виде. Для того, чтобы его использовать, следует развернуть этот алгоритм в пошаговую программу действий. К тому же стандартные задачи являются основными геометрическими задачами, поскольку все остальные в конечном счете сводятся к ним.

Можно выделить следующие особенности процесса решения стандартных геометрических задач.

1. Анализ стандартной геометрической задачи сводится к распознаванию вида задач, к которому принадлежит данная задача, т.е. того общего положения геометрии (аксиомы, теоремы, определения геометрической фигуры), с помощью которого она решается.

Это диктует необходимость для обучаемого держать в оперативной памяти все изученные в геометрии общие положения – аксиомы, теоремы, определения геометрических фигур

2. Поиск решения стандартной геометрической задачи состоит в составлении на основе общего положения геометрии  последовательности шагов решения задач данного вида, то есть в разворачивании свернутой в общем положении программы деятельности. Ее не обязательно формулировать письменно, достаточно просто наметить.

3. Решение стандартной геометрической задачи состоит в применении этой программы к условиям данной задачи.

4. При этом какой-то шаг программы может быть ранее решенной стандартной задачей. Таким образом, процесс накопления стандартных задач во многом индивидуален. Он обеспечивает решение все более сложных, но все же  уже для решаемого стандартных задач.

Пример. Для решения элементарной задачи на построение треугольника по трем элементам (сторонам и углам), каждая из которых является стандартной, используются такие ранее решенные элементарные стандартные задачи, как построение угла и отрезка, равных заданным.

2.3.  Методика обучения решению задач на вычисление

Прежде поясним, почему именно они подвергаются детальному анализу. Задачи на доказательство, как мы уже сказали, по существу являются теоремами. Задачи на построение требуют отдельного рассмотрения в теме “Геометрические построения на плоскости”.

Задачи на вычисление составляют основное содержание задачного материала учебников геометрии основной школы. Более того, задача на вычисление обычно включает в себя элементы построений, а также доказательство некоторых геометрических фактов, то есть они зачастую значительно богаче по геометрическому содержанию, чем другие классы задач.

Введем рабочее понятие задачи на вычисление.

Задача на вычисление – это задача, в которой требуется выразить неизвестные величины (отрезки, углы, площади и др.) или их отношения через известные величины, которые могут быть даны в общем виде или числовыми значениями.

Иногда данные величины выражены буквами и ответ должен быть дан в общем виде. Но в большинстве задач данные выражены числами и решение их следует доводить до числа. При решении вычислительных задач учащиеся пользуются теми навыками в преобразованиях формул и вычислениях, которые получены ими на уроках математики (арифметики) и алгебры. Поэтому процесс решения таких задач в значительной мере сводится к:

– составлению уравнений, формул;

– алгебраическим преобразования,

– арифметическим вычислениям.

Таким образом, именно эти задачи в наибольшей степени реализуют внутрипредметные связи с арифметикой, алгеброй, в дальнейшем – тригонометрией.

Геометрические задачи на вычисление имеют свои специфические особенности. Рассмотрим их в контексте основных этапов решения любой задачи. Напомним эти этапы:

1) анализ условия задачи,

2) поиск способа решения задачи, составление плана;

3) осуществление плана, оформление решения задачи;

4) изучение полученного решения.

Охарактеризуем специфические особенности первого этапа решения геометрической задачи на вычисление – работы с условием. Основной метод обучения здесь – чаще всего метод беседы. Учитель должен тщательно отработать систему вопросов к учащимся.

В начале работы с условием чаще всего ставится вопрос: “Какие геометрические фигуры рассматриваются в задаче?”, выделяется основная фигура.

После этого полезно поработать с содержанием геометрических понятий, входящих в условие задачи, ее терминологией. Уместны вопросы типа:

– Какая фигура называется ... ?

– Что значит, что ... ? и др.

Параллельно строится чертеж, причем правильный чертеж во многом определяет ход решения задачи.

Мы уже рассматривали подробно требования к чертежу. Переформулируем их в более простом, понятном ученикам виде, в котором их можно использовать на уроке:

– максимально возможное соответствие условию;

– наглядность, оптимальные размеры (не только на доске; учителем, особенно на первых порах, даются и необходимые указания по построению чертежей в тетрадях);

– рассматриваются (и это специально оговаривается учителем) геометрические фигуры общего вида, а не частные случаи.

По окончании построения чертежа на нем выделяются данные и искомые элементы цветом, обозначениями:

– углы – цифрами и дугами;

– равные отрезки значками “”, “”, “”;

– прямые углы значком “¬” и др.

Иногда на чертеже указываются данные величины. При этом основное требование – не загромождать чертеж.

Раскроем специфические особенности второго этапа решения геометрической задачи на вычисление.

Чаще всего используется аналитический метод поиска решения: рассуждения ведутся от требования задачи к ее условию. Здесь уместны вопросы типа:

– Что надо найти в задаче?

– А что для этого надо знать?

– В какую фигуру входит ... ?

– Что отсюда следует? И так далее.

Синтетический путь поиска решения задачи (от условия задачи к ее требованию) уместен, если не удается анализ:

– Рассмотрим фигуру ...

– Сделаем дополнительные построения ...

И тому подобное.

На этапе поиска решения определяющую роль играет чертеж. На нем ищутся фигуры, в которые входят искомые и данные элементы и таким образом устанавливаются соотношения между ними. Часто выполняются дополнительные построения – только необходимые, не загромождающие чертеж.

Учителю очень важно ненавязчиво руководить выбором и использованием теории (определений, теорем, аксиом). Здесь уместны вопросы типа:

– Какая геометрическая фигура называется ... ?

– Сформулируйте определение ...

–  Какими свойствами обладает ... ?

–  Какое из них связывает данные и искомые элементы?

–  Как эту связь выразить в виде формулы, уравнения, отношения?

После этого подводятся итоги: из предложенных вариантов решения выбирается наиболее эффективный, намечается общий (недетализированный) план решения задачи.

III этап – осуществление плана во всех деталях, оформление решения.

При выполнении вычислений возникает вопрос: в каком виде должен быть получен ответ и промежуточные результаты? Постепенно следует приучать учащихся решать задачу в общем виде, подставляя числовые данные в заключительную формулу или уравнение, так как иногда при вычислении промежуточных результатов выполняется лишняя работа (некоторые величины, которые были найдены в процессе решения задачи, могут не входить в конечную формулу).

При оформлении решения чаще всего практикуется пошаговая запись решения с обоснованиями (аналогичная оформлению доказательства теорем). Заключает оформление ответ на вопрос задачи.

Последний этап решения задачи (исследование полученного решения) в случае геометрической задачи на вычисление предполагает:

– оценку полученного ответа на достоверность.

– проверку решения (в отдельных случаях).

Пример методики работы с задачей на вычисление.

Задача № 412 [3]. Даны равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, катетом АС=12см и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина Е  – на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.

1 этап. Основной метод – вопросно–ответный (беседа).

– Какие геометрические фигуры рассматриваются в задаче? (Равнобедренный прямоугольный треугольник и квадрат).

– Выясним, как они расположены относительно друг друга. Для этого вспомните, какими свойствами обладает равнобедренный прямоугольный треугольник? (Катеты равны, угол прямой). Квадрат? (Углы прямые и стороны равны).