Ряды Фурье и их приложения

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ «ВГТУ»)

 

Факультет автоматики и электромеханики

 

Кафедра «Автоматизированные  и вычислительные системы»

Специальность «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети»

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по дисциплине «Математический анализ»

Тема работы «Ряды Фурье и их приложения»

Пояснительная записка

 

 

Разработал      ___________________________

Подпись, дата    Инициалы, фамилия

 

Руководитель     ___________________________

Подпись, дата    Инициалы, фамилия

 

Нормоконтроль провел    ___________________________

Подпись, дата    Инициалы, фамилия

 

 

Защищена _______________    Оценка _______________

Дата

 

 

 

Воронеж 2012

 

 

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

Кафедра «Автоматизированные  и вычислительные системы»

 

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу

по дисциплине «Математический анализ»

 

Тема «Ряды Фурье и их приложения »

 

Студент группы ВМ-111   Кол Максим Дмитриевич

 

 

Задание курсовой работы:

Изучить применение рядов Фурье

 

 

Срок защиты курсовой работы_______________________________________

 

Руководитель       _______________________________________

Подпись, дата

 

Задание принял студент         _____________________________________

Подпись, дата

 

 

ЗАМЕЧАНИЯ РУКОВОДИТЕЛЯ

 

Содержание

1. Введение……………………………………………………………………. 5
2. Ряды Фурье………………………………………………………..
1. Понятие ряда Фурье……………………………………
2. Определение коэффициентов ряда ……

 

3. Приложения РФ в математической физике………………………………
1. Задача о свободном колебании струны……………………………….
2. Колебания защемленной струны……………………………………..

 

4. Приложения РФ в сопротивлении материалов……………………………

4.1.Используемые методы  и материалы теории рядов……..

4.2 Используемые методы и материалы теории изгиба балки…….

4.3.Решение задач  изгиба балки с использование  рядов Фурье……

5. Заключение…………………………………………………………………..
6. Список литературы…………………………………………………………

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Введение.

 

Ряды Фурье имеют широкое  практическое  применение, в частности  они применяются при кодировании  различного рода информации, моделировании 3D графики, в современных алгоритмах шифрования (например RSA), в цифровых запоминающих осциллографах, при решении задач в сферической геометрии и т. д. В курсовой работе рассмотрены различные варианты практического использования  рядов Фурье в сопротивлении материалов и математической физике.

 Целью этой работы является  рассмотрение возможности разложения  функции в ряд Фурье и актуальность  применения этого разложения  в инженерно-технических расчетах, оценка в первую очередь его практической значимости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Понятие  ряда Фурье.

     _{Ряды Фурье играют  большую роль в  математической физике, теории упругости,  электротехнике и  особенно их частный  случай – тригонометрические  ряды Фурье.}

Тригонометрическим  рядом называют ряд вида

или, символической записи:

                                  ( 1 )

где ω, a₀, a₁, …, a_n, …, b₀, b₁, …,b_n, …-  постоянные числа (ω>0) .

       К изучению таких рядов исторически  привели некоторые задачи физики, например   задача о колебаниях  струны (XVIII в.), задача о закономерностях  в явлениях теплопроводности  и др. В приложениях рассмотрение  тригонометрических рядов, прежде всего связано с задачей представления данного движения, описанного уравнением  у = ƒ(χ), в виде  суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда  вида (1).

Таким образом, мы приходим к следующей  задаче: выяснить существует ли для  данной функции ƒ(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что  на этом промежутке функция  ƒ(x)  разлагается в тригонометрический ряд.

Ряд (1) сходится в некоторой точке  х₀, в силу периодичности функций (n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида (m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если S_n(x) – n-я частичная сумма этого ряда, то имеем

          

а потому и  , т. е. S(x₀+T)=S(x₀). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ(x) в ряд вида (1), будем предполагать ƒ(x) периодической функцией.

_{2. Определение  коэффициентов ряда  по формулам  Фурье.}

Пусть периодическая  функция ƒ(х) с  периодом 2π такая, что она представляется тригонометрическим рядом,  сходящимся к данной функции в интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда:

           ƒ(x)= .                           (2)

Предположим, что интеграл от функции, стоящей  в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов этого ряда. Это будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного  тригонометрического ряда, абсолютно  сходится, т. е.. сходится положительный числовой ряд

        (3)

Ряд (1) мажорируем и его можно почленно интегрировать в промежутке (-π, π). Проинтегрируем обе части равенства (2):

.

Вычислим  отдельно каждый интеграл, встречающийся  в правой части:

             ,

            ,

.

Таким образом, , откуда

.       (4)

 

 

_{2.2.1. Интегралы от периодических функций.}

_{Пусть ƒ(x) – периодическая  функция, с периодом Т, интегрируемая на любом сегменте вида [х0, х0+Т]. Тогда величина интеграла остаётся при любом х0 одной и той же: для любых х0, х0'}

_.

 

_{2.2.2. Интегралы от некоторых тригонометрических функций.}

_{Укажем значения некоторых интегралов:}

         _{(k = 1,2,…),                      (13)}

  _{(k =1,2,..; m =1,2,…),                        (14)}

                              ₍₁₅₎

_{(k =1,2,…; m =1,2,…; k ≠ m),}

    _{(k =1,2,…)                          (16)}

 

_{Теперь можем  вычислить коэффициенты Фурье ak и bk ряда (2). Для разыскания коэффициента an при каком-либо определенном значении n≠0 умножим обе части равенства (2) на cosnx и произведя математические операции в пределах от –π до π, получим:}

                                            ₍₁₇₎

                                              ₍₁₈₎

  _{Коэффициенты, определенные  по формулам (4), (17), (18) называются коэффициентами Фурье функции ƒ(x), а составленный тригонометрический ряд (18) с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции ƒ(x).}

_{В некоторых случаях, для более узких  классов функций, формулы (17), (18) были известны ещё Эйлеру. Таким образом, эти  формулы ещё называют формулами Эйлера-Фурье.}

_{Обратим внимание, что постоянная в (2) пишется в таком виде,  чтобы придать единообразие формулам  (17) и (18).}

_{Вышеприведенные соображения показывают, что поиски тригонометрического  разложения данной функции  целесообразно начать с изучения её ряда Фурье, откладывая на потом строгое  изучение вопроса  о том, для каких  функций ряд сходится, и притом именно к  данной функции. Пока же этого не сделано, функции ƒ(x) сопоставляют её формальный ряд  Фурье, что обычно записывают в виде:}

_{ƒ(x) ~ ,                      (19)}

_{про который известно, что его коэффициенты вычислены по функции  ƒ(x) по формулам Эйлера – Фурье (4), (17) и (18), но ничего не утверждается о его сходимости и тем более  – о его сходимости к данной функции.}

_{Из определения  ряда Фурье не следует, что функция должна в него разлагаться. Из сказанного выше следует только, что  некоторая функция  допускает разложение в равномерно сходящийся ряд вида (19), то этот ряд будет её рядом  Фурье.}

 

 

 

 

 

 

 

3. ПРИЛОЖЕНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ К РЕШЕНИЮ ПРОСТЕЙШИХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 

 

Ряды  Фурье находят многочисленные применения. Рассмотрим их использование при  решении некоторых задач математической физики.

Задача о свободном колебании  струны

Струной называется гибкая нить, не оказывающая  сопротивления изгибу. Пусть концы  струны закреплены на оси OX . Струна растягивается силами F и –F, приложенными к её концам и направленными вдоль оси ОХ. Если струну вывести из состояния равновесия и затем предоставить самой себе, то под влиянием растягивающих сил точки струны придут в движение, стремясь вернуться в исходное положение. Придя в исходное положение, каждая точка струны будет обладать уже некоторой скоростью и по инерции пойдет дальше положения равновесия. Струна будет совершать некоторое колебательное движение.

Будем считать, что выведенная из состояния  равновесия струна имеет форму линии  , лежащей в плоскости ХОY. Причем каждая точка струны совершает только поперечные колебания, перпендикулярные оси ОХ. Струна считается однородной, её плотность в нерастянутом состоянии обозначим  . Так как точка будет двигаться перпендикулярно оси ОХ, то во время движения её абсцисса меняться не будет. Ордината будет зависеть от времени и от абсциссы этой точки. Эту функцию обозначим  Данная функция должна удовлетворять однородным граничным условиям 

 

,         ,                        (8.1) 

 

выражающим  то, что концы струны  ,   в любой момент   находятся на оси ОХ, и начальным условиям 

 

                          (8.2) 

 

Первое  из условий (8.2) означает, что в начальный  момент времени струна имела форму    а второе условие (8.2), – что точки струны имеют начальную скорость.

Дифференциальное  уравнение малых поперечных колебаний  однородной струны с закрепленными  концами имеет вид 

 

.                                           (8.3)

Решение этого уравнения   дающее отклонение точек струны с абсциссой   в момент времени  , выражается рядом Фурье 

 

,                 (8.3) 

 

где           ,      .            (8.4) 

 

Если  ввести обозначения  ,  , то данное решение можно представить в виде 

 

.                          (8.5) 

 

Каждый  член этого ряда представляет собой так называемую стоячую волну, при которой точки струны совершают гармоническое колебательное движение с одинаковой фазой  , амплитудой   и частотой  . При таком колебании струна будет издавать звук, высота которого зависит от частоты колебаний  . Частоты   называются собственными частотами колебаний струны. Для поперечных колебаний   и, следовательно,  . Частота основного (самого низкого) тона выражается формулой  , где   – сила натяжения, действующая на струну,   – линейная плотность струны.  Остальные тона, соответствующие частотам, кратным   называются гармониками. Первой гармоникой считаем основной тон, второй гармоникой – тон с частотой   и т. д.

Решение складывается из отдельных гармоник; их амплитуда, а поэтому и влияние  на интенсивность звука, издаваемого  струной, обыкновенно быстро убывает  при увеличении номера гармоники, и  всё их действие сводится к созданию тембра звука.

Пример. Однородная струна, закрепленная на концах   имеет в начальный момент времени форму кривой, заданной уравнением   Решить уравнение колебания струны  , предполагая, что начальные скорости отсутствуют.

Решение. Задача сводится к решению уравнения    при граничных условиях   и начальных условиях  ,  . Так как начальные скорости отсутствуют, то коэффициент  . Вычислим коэффициент  .