Сечения цилиндра

Сечения цилиндра

    Сечения цилиндра плоскостью можно рассматривать  как параллельные проекции основания  цилиндра на эту плоскость. Поэтому, если плоскость параллельна плоскости  основания, то в сечении получается круг, равный основанию. Здесь мы докажем, что если плоскость сечения составляет некоторый угол с плоскостью основания цилиндра и не пересекает основания, то в сечении будет фигура, ограниченная эллипсом.

    Напомним, что эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек F₁, F₂ есть величина постоянная, называется эллипсом. Точки F₁, F₂ называются фокусами эллипса.

    Таким образом, для точек A эллипса с фокусами F₁ и F₂ сумма AF₁ + AF₂ постоянна и равна некоторому положительному числу c (рис. 22). Из неравенства треугольника следует, что число c должно быть больше длины отрезка F₁F₂.

    Слово "фокус" в переводе с латинского языка означает "очаг", "огонь", и именно это свойство эллипса  послужило основанием для названия точек F₁, F₂ фокусами.

    Отрезок прямой F₁F₂, соединяющий две точки эллипса, называется большой осью.

    Отрезок прямой, проходящей через середину большой оси и перпендикулярной этой оси, соединяющий две точки  эллипса, называется малой осью эллипса.

    Еще И. Кеплер обнаружил, что планеты  Солнечной системы движутся вокруг Солнца не по окружностям, как думали раньше, а по эллипсам, причем Солнце находится в фокусах этих эллипсов. Точка орбиты планеты, ближайшая к Солнцу, называется перигелий, а наиболее удаленная - афелий. Однако из-за того, что орбита Земли представляет собой очень мало сжатый эллипс, похожий на окружность, такое приближение и удаление от Солнца незначительно сказывается на температуре. Гораздо большее значение для температуры на поверхности Земли имеет угол падения солнечных лучей. Например, когда Земля бывает в перигелии, в нашем полушарии зима, а когда в афелии - в нашем полушарии лето. Луна, искусственные спутники Земли также движутся вокруг Земли по эллипсам.

    Для того чтобы нарисовать эллипс потребуется  нить и кнопки. Прикрепим концы  нити к фокусам. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге эллипс (рис. 23).

     Теорема. Если плоскость сечения составляет некоторый угол с плоскостью основания цилиндра и не пересекает основания, то в сечении будет фигура, ограниченная эллипсом.

     Доказательство. Рассмотрим цилиндрическую поверхность, составленную из образующих цилиндра и ее сечение плоскостью . Впишем в эту поверхность две сферы, касающиеся плоскости в некоторых точках F₁, F₂ и цилиндрической поверхности по окружностям C₁, С₂ (рис. 24). Пусть A – произвольная точка сечения. Проведем через нее образующую и обозначим через А₁, А₂ точки пересечения этой образующей с окружностями C₁, C₂ соответственно. Заметим, что прямая A₁A₂ является касательной к обеим сферам. Воспользуемся тем, что отрезки касательных, проведенных к сфере из одной точки, равны. Тогда AF₁ = AA₁, AF₂ = AA₂. Поэтому AF₁ + AF₂ = AA₁ + AA₂ = A₁A₂. Но длина отрезка А₁А₂ есть расстояние между плоскостями окружностей C₁, C₂. Поэтому оно не зависит от выбора точки А сечения, т. е. является постоянной величиной. Значит, сечением цилиндрической поверхности является эллипс с фокусами F₁, F₂.

    На  рисунке 25 показано построение точек эллипса, получающегося как сечение боковой поверхности цилиндра плоскостью.

    Для этого зададим два сопряженных  диаметра AB и CD. Через точку A проведем образующую и выберем на ней какую-нибудь точку A’, принадлежащую сечению. Прямая A’O пересечет образующую, проходящую через точку B в некоторой точке B’, также принадлежащую сечению. Возьмем теперь на отрезке CD произвольную точку и проведем через нее прямую, параллельную A’B’. Ее точки пересечения с образующими цилиндра будут принадлежать сечению.

    Рассмотрим  еще одно свойство сечений цилиндра плоскостью, а именно, связь этих сечений с тригонометрическими функциями.

    Возьмем прямоугольный лист бумаги и нарисуем на нем оси координат Ox и Oy параллельно соответствующим сторонам (рис. 26). Затем свернем этот лист в боковую поверхность прямого кругового цилиндра, радиус основания которого примем за единицу. Ось Ox свернется в окружность радиуса 1, а ось Oy станет образующей цилиндра (рис. 27). Через диаметр OD полученной окружности проведем сечение, составляющее с плоскостью окружности угол в 45 . В этом случае сечением будет эллипс.

    Развернем цилиндр обратно в прямоугольник. При этом эллипс развернется в  кривую, являющуюся частью синусоиды. Для доказательства этого из произвольной точки A на эллипсе опустим перпендикуляры на плоскость окружности и диаметр окружности OD. Получим соответственно точки B и C. Треугольник ABC прямоугольный и равнобедренный, так ABC = 90°, ACB = 45°. Следовательно, AB = BC. Заметим, что BC = sin x, где x - длина дуги OB. Для этого достаточно обратиться к рисунку 28 и вспомнить определение синуса. Таким образом, AB = sin x, где x = OB, т. е. эта кривая является частью синусоиды с уравнением y = sin x (рис. 29).