Шпаргалка по "Линейной алгебре"

№

Определителем матрицы 1-го порядка  А=(а11)  является единственный элемент  этой матрицы. Определителем 2-го порядка  называется число, характеризующее  матрицу 2-го порядка, которое находится  по следующему правилу: из произведений элементов главной диагонали вычитается произведение элементов второй диагонали матрицы А. Определителем матрицы 3-го порядка это число равное сумме произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов этой строки ((-1)^ikA_ik). 1) Если к.-л. строка или столбец в матрице состоит из одних нолей, то | | этой матрицы равен 0. 2)При транспонировании матрицы её определитель неизменяется. 3) При перестановке местами 2-х строк или столбцов матрицы её определитель меняет свой знак на противоположный. 4) Если квадратная матрица содержит 2 одинаковых строки или столбца, то её определитель равен 0. 5)Если 2 строки или 2 столбца матрицы пропорциональны, то её | | равен 0. 6) Определитель матрицы не изменяется если к элементам одной строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца, умноженный на одно и то же число.

№

 (1)  

предполагая, что а11 0 умножаем 1-ое Ур-ие на а₂₁/а₁₁

и прибавляем ко второму и т.д. Получим  Ур-ия не содержащие х1. Аналогично со вторым.

(2) (3)

(3)

(2)- имеет единственное решение.

(3)- имеет бесконечно много решений.  Одни неизвестные выражаются  через другие.

(4)- не имеет решений.

№

Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора одинаковые, когда они имеют одинаковое направление и равные модули. Противоположные, когда имеют равные модули и противоположное направление. Нуль-вектор. Единичный вектор.

1.умножение на число: произведение  вектора А на число l наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) |lА|=|l| |А| б) l>0, то lА­­l, l<0, то lА­¯l. 2.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 3. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.

1) a+b=b+a

2) (a+b)+c = a+(b+c)

3) a+0=a

4) a+(-a)=0

№

Матрицей размера mxn называется таблица состоящая из mn множества М и содержащая m строк и n столбцов. Элементы множества М называются элементами матрицы. Матрицы обозначаются A,B,C. Элементы матрицы – a_ik. [], ( ), || ||, [a_ik]_mn . матрицы равны если они одинаковых размеров. Матрицей строкой называют матрицу, состоящую из одной строки. Матрицей столбцом - из одного столбца. Матрица, у которой количество столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрицей     n-ого порядка. Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то  матрицу называют диагональной. Если у диагональной матрицы n-ого порядка на главной диагонали все элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается Е. Матрица любого размера, все элементы которой равны 0, называется нулевой. 1)Умножение матрицы на число. Для того, чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый элемент матрицы. 2)Сложение 2-х матриц: условие - складывать можно только матрицы одинакового размера. Суммой 2-х матриц А и В называется матрица С=А+В. Для того, чтобы сложить 2 матрицы, необходимо складывать между собой элементы, стоящие на одинаковых местах. 3)Вычитание 2-х матриц: операция аналогична сложению. 4)Умножение 2-х матриц: умножение А на В возможно тогда и только тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А размера mk на матрицу В размера kn называется матрица С размера mn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы   j-ого столбца матрицы В. 5)Транспонирование. транспонирование-операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы меняются местами.

№

матрица обратная квадратной матрице А – это квадратная  матрица В удовлетворяющая равенству АВ=ВА. Обратная матрица существует только для квадратной и имеет тот же порядок. Обозначается А^-1. АА^-1=А^-1А=Е

№

линейные пространства являются одним из основных и возникают  в результате обобщения векторов, матриц, действительных чисел и т.д.

V={x,y,z}

Операция сложения z= x+y,    z, x, y принадлежат V

Операция умножения z=lx,     z, x, l  принадлежат V

Действительным линейным пространством называется множество V в котором определены сложение элементов и умножение их на действительные числа, удовлетворяющие следующим аксиомам: 

1

2

3

4

5

6

7

8

Элементы действительных линейных пространств называются векторами.

Примеры:

1 Множества всех свободных  векторов

2 матрицы mn

№

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1, где a1n называются коэффициентами при неизвестных, а b- свободным коэффициентом. Два линейных ур-я называются равносильными, если есть общее решения. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система ур-ий называется определённой, если она имеет одно единственное решение, и неопределённой, если решений множество. Матрица, эл-тами которой являются коэффициенты при неизвестных системы, называется матрицей системы. Матрица системы, дополненная столбцом свободных коэффициентов, называется расширенной матрицей.

  - матричная запись системы.

№

|А|=      A^-1=1/|A| и умнож на определитель, составленный из обратную матрицу.

№

Рассмотрим алименты x1, x2, xn (1) линейного пространства V.

y=l₁x1+l₂x₂+…+l_nx_n,   l принадлежит R.

Система векторов (1) линейно  зависима, если 

l₁x1+l₂x₂+…+l_nx_n = 0, при этом хотя бы одноl не равно нулю.

Система векторов (1) линейно  независимой, если 

l₁x1+l₂x₂+…+l_nx_n = 0, при всех l = 0.

Если система векторов линейно зависима, то хотя бы  одно l выражается через остальные.

1 Всякая система векторов, имеющая нулевой вектор – линейно  зависима.

2 Если К векторов (К<n) системы (1) линейно зависима, то и система (1) линейно зависима.

3 Если из системы  линейно независимых векторов  отбросить r векторов (r<n), то оставшаяся система линейно независима.

4 Если среди векторов  системы (1) имеются такие x_k и x_n, что x_k=lx_n, то система линейно зависима.

5 Векторы x1+x₂+…+x_n линейно зависимы т. и т.т., когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

   Пусть n – натуральное число. Линейное пространство V называется n-мерным, если в нем существуют  n  линейно независимых векторов, а всякие (n+1) линейно зависимы. n-называется размерность линейного пространства. обозначается dimV. Если пространство нулевое, то его размерность = 0. обозначается dimV.

Базисом n- мерного пространства называется любая упорядоченная система n-линейно независимых векторов.