Шпаргалка по "Математике"

Комплексные числа

Мы знаем, что всякое вещественное число графически можно изобразить или как отрезок, отложенный на данной оси OX, или же как точку на этой оси, если условимся начала всех отрезков помещать в начало координат; обратно - всякому отрезку или точке на оси OX соответствует определенное вещественное число.

Если теперь вместо одной оси OX рассматривать всю плоскость, отнесенную к координатным осям OX, OY, то, обобщив надлежащим образом понятие о числе, мы получим возможность каждому вектору, лежащему в этой плоскости, или каждой ее точке сопоставить некоторое число, которое мы назовем комплексным.

Если условимся не различать  между собой векторы, равные по длине  и одинаково направленные, то можно  сопоставить вещественное число  не только всякому вектору на оси OX, но, вообще, всякому вектору, параллельному оси OX. В частности вектору длины единица, направление которого совпадает с положительным направлением оси OX, соответствует число единица.

Вектору длины единица, направление  которого совпадает с положительным направлением оси OY, сопоставим символ i, называемый мнимой единицой. Всякий вектор плоскости может быть представлен как сумма двух векторов и , параллельных осям координат. Вектору , параллельному оси OX, соответствует некоторое вещественное число a. Вектору , параллельному оси OY, пусть соответствует символ bi, где b - вещественное число, абсолютное значение которого равно длине вектора , и которое будет положительным, если направление совпадает с положительным направлением оси OY, и отрицательным, если направление противоположно положительному направлению OY. Таким образом, естественно, вектору сопоставить комплексное число, имеющее вид

a + bi.

Отметим тот факт, что знак ( + ) в написанном выражении a + bi не есть знак действия. Это выражение надо рассматривать как единый символ для обозначения комплексного числа.

Вещественные числа a и b представляют собой, очевидно, величины проекций вектора на координатные оси.

Отложим от начала координат вектор , совпадающий по длине и направлению с вектором . Конец этого вектора A будет иметь координаты ( a, b ), и этой точке мы можем сопоставить то же комплексное число a + bi, что и векторам и .

Итак, всякому вектору плоскости (всякой точке плоскости) соответствует определенное комплексное число a + bi. Вещественные числа a и b равны проекциям рассматриваемого вектора на координатные оси (координатам рассматриваемой точки).

Придавая в выражении a + bi буквам a и b всевозможные вещественные значения, получим совокупность комплексных чисел; a называется вещественной и bi - мнимой частью комплексного числа.

В частном случае вектора, параллельного оси OX, комплексное число совпадает со своей вещественной частью:

a + 0i = a.

(1)

Таким образом, вещественное число a мы считаем частным случаем комплексного числа.

Понятие о равенстве двух комплексных  чисел вытекает из их геометрической интерпретации. Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину и совпадающее направление, т.е. если они имеют одинаковые проекции на координатные оси, а потому два комплексных числа считаются равными между собой тогда и только тогда, когда в отдельности равны их вещественные и мнимые части, т.е. условие равенства комплексных чисел будет:

a1 + b1i = a2 + b2i   равносильно  a1 = a2 ;  b1 = b2.

(2)

В часности,

a + bi = 0 равносильно a = 0;  b = 0.

Тригонометрическая форма комплексных чисел

Вместо того, чтобы определить вектор его проекциями a и b на координатные оси, мы можем определить его двумя другими величинами, а именно: его длиною r и углом j, который направление образует с положительным направлением оси OX. Если же мы считаем, что комплексное число a + bi соответствует точке с координатами ( a, b ), то r и j будут, очевидно, полярными координатами этой точки. Как известно, имеют место соотношения:

a = r cos j;  b = r sin j;

(3)

 

  Положительное число r называется модулем, j - аргументом комплексного числа a + bi. Аргумент определяется лишь с точностью до слагаемого 2p, так как всякий вектор совместится сам с собой, если его повернуть на любое число полных оборотов в ту или иную сторону вокруг точки M. В случае r = 0, комплексное число равно нулю, и его аргумент совершенно не определен. Условие равенства двух комплексных чисел состоит, очевидно, в том, что модули их должны быть равны, а аргументы могут отличаться лишь слагаемыми, кратными 2p.

Вещественное число имеет аргумент 2Âp, если оно положительное, и (2Â + 1)p, если оно отрицательное, где Â - любое целое число. Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, то комплексное число имеет вид bi и называется чисто мнимым. Соответствующий такому числу вектор параллелен оси OY, и аргумент чисто мнимого числа bi равен , если b > 0 , и , если b < 0 .

Модуль вещественного числа  совпадает с его абсолютным значением. Для обозначения модуля числа a + bi пишут это число между двумя вертикальными чертами:

Пользуясь указанными выше формулами для a и b, можем выразить комплексное число через его модуль и аргумент в виде:

r (cos j + i sin j).

В таком случае говорят, что комплексное  число задано в тригонометрической форме.

Сложение и вычитание комплексных  чисел

Сумма векторов представляет собой  замыкающую многоугольника, составленного из слагаемых векторов. Принимая во внимание, что проекция замыкающей равна сумме проекций составляющих, мы приходим к следующему определению сложения комплексных чисел:

( a1+b1i ) + ( a2+b2i ) + ... + ( an+bni ) = = ( a1+a2+ ... +an ) + ( b1+b2+ ... +bn )i.

(4)

Нетрудно видеть, что сумма комплексных  чисел не зависит от порядка слагаемых (переместительный закон) и что слагаемые  можно объединять в группы (сочетательный  закон), ибо такими свойствами обладают сумма вещественных чисел a_k и сумма вещественных чисел b_k

Пользуясь определением сложения можно  утверждать, что комплексное число a + bi, есть сумма вещественного числа a и чисто мнимого числа bi, т.е. a + bi = (a + 0i ) + (0 + bi )

Вычитание определяется как действие, обратное сложению, т.е. разность

x + yi = (a1 + b1i ) - (a2 + b2i )

определяется из условия

(x + yi ) + (a2 + b2i ) = a1 + b1i

или, x + a2 = a1; y + b2 = b1, т.е. x = a1 - a2; y = b1 - b2, и окончательно получаем:

(a1 + b1i ) - (a2 + b2i ) = (a1 - a2 ) + (b1 - b2 )i.

(5)

Вычитание комплексного числа (a2 + b2i ), как мы видим, равносильно сложению уменьшаемого (a1 + b1i ) и комплексного числа (-a2 - b2i ). Это соответствует следующему: вычитание векторов сводится к сложению вектора уменьшаемого с вектором, по величине равным вычитаемому, а по направлению ему противоположным.

Рассмотрим вектор , начальной точке A₂ которого соответствует комплексное число a2 + b2i и концу A₁ - число a1 + b1i. Этот вектор представляет собой, очевидно, разность векторов и и, следовательно ему соответствует комплексное число

(a1 - a2 ) + (b1 - b2 )i,

равное разности комплексных чисел, соответствующих его концу и  его началу.

Установим теперь свойства модуля суммы  и разности двух комплексных чисел. Принимая во внимание, что модуль комплексного числа равен длине соответствующего этому числу вектора и что одна сторона треугольника короче суммы двух других, получим:

| a1 + a2 | Ј | a1 | + | a2 | ,

причем знак равенства будет иметь место лишь в том случае, когда векторы, соответствующие комлексным числам a1 и a2, имеют одинаковое направление, т.е. когда аргументы этих чисел или равны, или отличаются на кратное 2p. Доказанное свойство имеет, очевидно, место и в случае любого числа слагаемых:

| a₁ + a₂ + ... + a_n | £ | a₁ | + | a₂ | + ... + | a_n | ,

т.е. модуль суммы меньше или равен сумме модулей слагаемых, причем знак равенства имеет место лишь в том случае, когда аргументы слагаемых равны или отличаются кратным 2p.

Принимая во внимание, что сторона треугольника больше разности двух других сторон, можем, кроме того написать:

| a₁ + a₂ | ³ | a₁ | - | a₂ | ,

т.е. модуль суммы двух слагаемых больше или равен разности модулей этих слагаемых. Равенство будет иметь место лишь в том случае, когда направления соответствующих векторов противоположны.

Вычитание векторов и комплексных  чисел приводится, как это мы видели выше, к сложению, и для модуля разности двух комплексных чисел  будем, как и для модуля суммы, иметь:

| a₁ | - | a₂ | £ | a₁ - a₂ | £ | a₁ | + | a₂ |

 

Умножение комплексных чисел

Произведение двух комплексных  чисел мы определяем аналогично произведению двух вещественных чисел, а именно: произведение рассматривается как  число, составленное из множимого, как  множитель составлен из единицы. Вектор, соответствующий комплексному числу с модулем r и аргументом j, может быть получен из единичного вектора, длина которого равна единице и направление которого совпадает с положительным направлением оси OX, путем удлинения его в r раз и поворота в положительном направлении на угол j.

Произведением некоторого вектора a₁ на вектор a₂ назовем вектор, который получится, если к вектору a₁ применить вышеуказанное удлинение и поворот, при помощи которых вектор a₂ получается из единичного вектора,причем последнему соответствует, очевидно, вещественная единица.

Если ( r₁ , j₁ ), ( r₂ , j₂ ) суть модули и аргументы комплексных чисел, соответствующих векторам a₁ и a₂, то произведению этих векторов будет, очевидно, соответствовать комплексное числос модулем r₁r₂ и аргументом ( j₁ + j₂ ). Мы приходим таким образом, к следующему определению произведения комплексных чисел:

Произведением двух комплексных  чисел называется такое комплексное  число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей и аргумент - сумме аргументов сомножителей.

Таким образом, в том случае, когда  комплексные числа написаны в  тригонометрической форме, будем иметь:

r1(cosj1 + i sinj1) * r2(cosj2 + i sinj2) = = r1r2[cos(j1 + j2) + i sin(j1 + j2)]

(6)

Выведем теперь правило составления произведения для того случая, когда комплексные числа даны не в тригонометрической форме:

(a₁ + b₁i )(a₂ + b₂i ) = x + yi  

Пользуясь обозначением модулей и  аргументов сомножителей, можем написать:

a₁ = r₁cosj₁;   b₁ = r₁sinj₁;   a₂ = r₂cosj₂;   b₂ = r₂sinj₂;

согласно определению умножения:

x = r₁r₂cos(j₁ + j₂); y = r₁r₂sin(j₁ + j₂),

откуда:

x = r₁r₂(cosj₁cosj₂ - sinj₁sinj₂) = 
= r₁cosj₁r₂cosj₂ - r₁sinj₁r₂sinj₂ = a₁a₂ - b₁b₂ 
 
y = r₁r₂(sinj₁cosj₂ + cosj₁sinj₂) = 
= r₁sinj₁r₂cosj₂ + r₁cosj₁r₂sinj₂ = b₁a₂ + a₁b₂ ,

и окончательно получим:

(a1 + b1i )(a2 + b2i ) = (a1a2 - b1b2) + (b1a2 + a1b2)i

(7)

В случае b₁ = b₂ = 0 сомножители являются вещественными числами a₁ и a₂ и произведение приводится к произведению a₁a₂ этих чисел.

В случае a₁ = a₂ = 0 и b₁ = b₂ = 1, равенство (7) дает:

i × i = i ² = -1,

т.е. квадрат мнимой единицы равен (-1).

Вычисляя последовательно целые  положительные степени i, получим:

i ² = -1;   i ³ = -i;   i ⁴ = 1;   i ⁵ = i;   i ⁶ = -1;   ...

и, вообще, при всяком положительном k:

i ^4k = 1;   i ^4k+1 = i;   i ^4k+2 = -1;   i ^4k+3 = -i   

Правило умножения, выражаемое равенством (7), можно формулировать так: комплексные числа надо перемножать, как буквенные многочлены, считая i ² = -1. 
  Если a есть комплексное число a + bi, то комплексное число a - bi называют сопряженным с a, и его обозначают через .

Согласно формулам (3):

|a|² = a² + b² .

Но из равенства (7) вытекает:

(a + bi )( a - bi ) = a² + b² ,

а, следовательно:

|a|² = (a + bi )( a - bi ) = a

,

т.е. произведение сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля каждого из них.

Отметим еще очевидные формулы:

a + = 2a;    a - = 2bi .

(8)

Из формул (4) и (7) непосредственно следует, что сложение и умножение комплексных чисел подчиняются переместительному закону, т.е. сумма не зависит от порядка слагаемых, а произведение - от порядка сомножителей. Нетрудно проверить и справедливость сочетательного и распределительного законов, выражающихся следующими тождествами:

(a₁ + a₂) + a₃ = a₁ + (a₂ + a₃); 
(a₁a₂)a₃ = a₁(a₂a₃); 
(a₁ + a₂)b = a₁b + a₂b .

Заметим, наконец, что произведение нескольких сомножителей будет иметь модуль, равный произведению модулей сомножителей, и аргумент, равный сумме аргументов сомножителей. Таким образом, произведение комплексных чисел будет равно нулю тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из сомножителей равен нулю.