Автор работы: Пользователь скрыл имя, 13 Июня 2012 в 11:10, шпаргалка
Шпаргалки по функциям и интегралам.
30. Определение непрерывности функции в точке. Свойства функций, непрерывность на отрезке.
Пусть функция у = f ( x ) определена в точке Ха и внекоторой
окрестности этой точки. Функция у = f ( x ) называется ~еnрерЫ6-н.о1J.
6 mо'Ч,х;е ха, если существует предел функции в этой точке и он равен
значению функции в этой точке, т. е.
lim f ( x ) = f(x0).
х→хо
Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:
1) функци:Я f ( x ) определена в точке хо и ее окрестности;
2) функция f ( x ) имеет предел при х -+ хо;
З) предел функции в точке хо равен значению функции в этой
точке, т. е. выполняется равенство (19.1).
Так как lim х = хо, то равенство (19.1) можно записать в виде
x- txo
lim f ( x ) = f ( lim х) = f ( xo) .
Х →Хо Х→ХО
Это означает, что при нахождении предела Henpep'b/.BHoiJ. фУ'Н.1сv,ии
f ( x ) можно nepeiJ.mu 1с пределу под зна1СОМ фУН1Сv,ии, то есть в фующию
f ( x ) вместо аргумента х nодставит'Ь его nредел'Ьное 3Ha'Leoнue хо.
Равенство Lim ∆y=0
∆X→0
является еще одним определением не-
прерывности функции в точке: функция у = f ( x ) называется не
прерывной в mочке Хо, если она определена в точке хо и ее окрестно
сти и выполняется равенство Lim ∆y=0
∆X→0
т. е. бесконечно малому прираще
нию аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое
(равенство lim f ( x ) = f(x0).), либо второе (равенство Lim ∆y=0
x→Zo
) определение.
Непрерывность функции в интервале и на отрезке
Функция у = f ( x ) называется неnрер'Ывно'iJ, в uнтервале (а, Ь), если
она непрерывна в каждой точке этого интервала. _
Функция у = f ( x ) называется неnрерывной трезке [а, Ь], если
она непрерывна в интервале (а, Ь) и в точке х = а неnрер'Ыв'На спра-
ва (т. е. lim f ( x ) = f (a) ) , а в точке х = Ь неnрер'Ыв'На слева (т. е.
x→а+О
lim f ( x ) = f (b) )
свойства
Теорема (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрез
ке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наимень
шего значений.
Если функция непрерывна на отрезке, то она огра
ничена на этом отрезке.
Теорема (Больцано-Коши). Если функция у = f ( x ) непре
рывна на отрезке [а; Ь) и принимает на его концах неравные значения
f (a) = А и f(b) = В, то на этом отрезке она принимает и все проме
жуточные значения между А и В.
Следствие. Если функция у = f ( x ) непрерывна на отрезке [а; Ь)
и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка
[а; Ь) найдется хотя бы одна точка с, в которой данная функция f ( x )
обращается в нуль : f(c) = О.
31. Определение производной функции y=f(x), её геометрический и механический смысл.
Производноit фУН1Сции у = f ( x ) в mО'Ч1Се хо называется предел
отношения приращения функции к приращению аргумента, когда
приращение аргумента стремится к нулю.
Итак, по определению
y'= lim f(x0+∆X)-f(x0) или f'(x0) lim f(x)- f(x0)
∆X→0 ∆X
Производная функции f ( x ) есть некоторая функция г(х), nро'Uз
веденная из данной функции.
Механический смысл
в задаче про скорость прямолинейного движения было получено
V = lim ∆s
∆t→0 ∆t
Это равенство перепишем в виде V = s't т.е скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t.
В этом заключается механический смысл производной.
Геометрический смысл
Рассмотрим секущую АВ графика функции y = f(x) такую, что точки А и В имеют соответственно координаты и , где - приращение аргумента. Обозначим через приращение функции. Отметим все на чертеже:
Из прямоугольного треугольника АВС имеем . Так как по определению касательная – это предельное положение секущей, то .
Вспомним определение производной функции в точке: производной функции y = f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , обозначается .
Следовательно, , где - угловой коэффициент касательной.
Таким образом, существование производной функции y = f(x) в точке эквивалентно существованию касательной к графику функции y = f(x) в точке касания , причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке , то есть .
Заключаем: геометрический смысл производной функции в точке состоит в существовании касательной.
32.
Правила дифференцирования
При дифференцировании константу можно выносить за производную:
Правило дифференцирования суммы функций:
Правило дифференцирования разности функций:
Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):
Правило дифференцирования частного функций:
Правило дифференцирования функции в степени другой функции:
Правило дифференцирования сложной функции:
Правило логарифма при дифференцировании функции:
______________________________
таблица производных.
33. Дифференциал и его геометрический смысл. Линеаризация функций одной переменной
Дифференциалом dy функции y=y(x) называется главная часть ее приращения, пропорциональная приращению независимой переменно x.
Дифференциал dx независимой переменной x равен ее приращению :
Дифференциал любой дифференцируемой функции y=y(x) равен произведению ее производной на дифференциал независмой переменной:
Если достаточно мало по абсолютной величине, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем , имеет место приближенное равенство .
Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал фу
Линеаризация функций применяется для нахождения пределов в точке, при построении графиков функций, для решения уравнений. Суть метода состоит в том, что в окрестности какой-либо точки, в которой функция f (x) непрерывна и дифференцируема нужное количество раз, ее можно заменить ее касательной f (x0) + f' (x0) · (x – x0). Чем ближе к x0 находится точка x, тем больше точность данного приближения.
34. Исследование функции одной переменной методами дифференциального исчисления.
Одной из важнейших задач дифференциального исчисления является разработка общих примеров исследования поведения функций.
Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а ее производная положительна или равна 0 на интервале (a,b), то y=f(x) возрастает на [a,b] (f'(x)0). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а ее производная отрицательна или равна 0 на интервале (a,b), то y=f(x) убывает на [a,b] (f'(x)0)
Интервалы, в которых функция не убывает или не возрастает, называются интервалами монотонности функции. Характер монотонности функции может изменяться только в тех точках ее области определения, в которой меняется знак первой производной. Точки, в которых первая производная функции обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими.
Теорема 1 (1-ое достаточное условие существования экстремума).
Пусть функция y=f(x) определена в точке х0 и пусть существует окрестность δ>0 такое, что функция непрерывна на отрезке [x0-δ,x0+δ], дифференцируема на интервале (x0-δ,x0)u(x0, x0+δ), причем ее производная сохраняет постоянный знак на каждом из этих интервалов. Тогда если на x0-δ,x0) и (x0, x0+δ) знаки производной различны, то х0- точка экстремума, а если совпадают, то х0- не является точкой экстремума. При этом если при переходе через точку х0, производная меняет знак с плюса на минус (слева от х0 выполняется f'(x)>0, то х0- точка максимума; если же производная меняет знак с минуса на плюс (справа от х0 выполняется f'(x)<0, то х0- точка минимума.
Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции – ее экстремальными значениями.
Теорема 2 (необходимый признак локального экстремума).
Если функция y=f(x) имеет в токе x=x0 экстремум, то либо f’(x0)=0, либо f’(x0) не существует.
В точках экстремума дифференцируемой функции касательная к ее графику параллельна оси Ox.
Теорема 3. (2-ое достаточное условие существование экстремума).
Пусть f'(x0) и в точке х0 существует f''(x0). Тогда если f''(x0)>0, то х0 – точка минимума, а если f''(x0)<0, то х0 – точка максимума функции y=f(x).
На отрезке [a; b] функция y=f(x) может достигать наименьшего (унаим) или наибольшего (унаиб) значения либо в критических точках функции, лежащих в интервале (а;b), либо на концах отрезка [a;b].
Схема исследования функции и построение ее графика
I. Найти область определения функции.
II. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
III. Найти асимптоты.
IV. Найти точки возможного экстремума.
V. Найти критические точки.
VI. С помощью вспомогательного рисунка исследовать знак первой и второй производных. Определить участки возрастания и убывания функции, найти направление выпуклости графика, точки экстремумов и точек перегиба.
VII. Построить график, учитывая исследование,
35. Неопределённый интеграл и его свойства.
Функция Р(х) называется nервообраз'Ноii. функции f ( x ) на ин
тервале (а; Ь), если для любого х Е (а; Ь) выполняется равенство
Р'(х) = f (x) (или dF(x) = f (x) dx)
Теорема. Если функция Р(х) является первообразной функции
f (x) на (а; Ь), то множество всех первообразных для f (x) задается
формулой Р(х) + с, где С - постоянное число.
Мнжество всех первообразных функций F( x )+ С для f ( x ) на
зывается неоnределен:н:ы,м интеграло,м от фуюсции f ( x ) и
обозначается символом ∫f(х)dx.
Таким образом, по определению:
∫f(х)dx= F( x )+ С
Свойства
1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынте
гральному выражению, а производная неопределенного интеграла рав
на подынтегральной функции:
d(∫f(х)dx)= ∫f(х)dx , (∫f(х)dx)'= fx
nравuлъностъ интегрирования nроверя
ется дифференцированием.
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функ
ции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
∫dF(x) = Р(х) + С.
з. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
. ∫af(x)dx = a*∫f(x)dx
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного
числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов
от слагаемых функций:
∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
5. (Инвариантность формулы интегрирования).
∫f(x)dx = F(x) + C , то и ∫f(u)dx = F(u) +C , где u=φ(x)
-произвольная функция имеющая непрерывную производную
. 36. Основные методы интегрирования (замена переменной, интегрирование по частям).
Простым и удобным методом вычисления определенного интегра
b
ла ∫ f ( x ) dx от непрерывной функции является формула Ньютона-
а
Лейбница:
b b
∫ f ( x ) dx = F( x ) │ : = F(b) - F(a) .
а a
Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найде
на первообразная функции F( x ) для подынтегральной функции f ( x ) .
Интегрирование подстановкой
(заменой переменной)
Пусть для вычисления интеграла ∫ ( x ) dx от непрерывной функ
a
ции сделана подстановка х = φ(t).
Теорема
Если:
1) функция х = φ(t) и ее производная x'
= φ'(t) непрерывны при t Є [a,β]
2) множеством значений функции х = φ(t) при t Є [a,β]
является
отрезок [а; b];
3) φ(а) = а и φ(b) = b,
то
b β
∫f(x)dx = ∫ f(φ(t)) ∙ φ'(t)dt
a a
Интегрирование по частям
Если функции u = u(х) и v = v ( x ) имеют непрерыв
ные производные на отрезке [а; b]. то имеет место формула
b b b
∫ udv = uv │ - ∫ vdu
a a a