Стационарное решение уравнений, описывающих течение смесей вязких несжимаемых жидкостеймежду двумя параллельными стенками

 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Введение                                                                                                           3
2. Стационарные решения уравнений, описывающих течение смесей вязких несжимаемых  жидкостей между двумя параллельными стенками            5
3. Заключение                                                                                                       15
4. Список литературы                                                                                          16

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ

Будем предполагать, что двухкомпонентная смесь вязких сжимаемых жидкостей  заполняет ограниченную область  евклидова пространства точек , граница которой принадлежит классу C². Состояние i-ой компоненты смеси полностью характеризуется скалярными полями плотностей , давлений и векторными полями скоростей .

В стационарном случае, они удовлетворяют следующим  уравнениям [1,2]:

              в                                                                           (1)

 в                          (2)

в которых  операторы

 

определены  так,  что  для  некоторой  постоянной  C ₀   >   0  выполняется неравенство

                                                                           (3)

Неравенство (3), в терминах коэффициентов вязкости  и µ_ij, эквивалентно следующим условиям:

     Будем предполагать, что интенсивность обмена импульсом между составляющими смеси

  где a > 0 — заданная постоянная. Массовые силы и считаются нулевыми векторными полями.

В общем  случае нет математических результатов, касающихся корректности краевых задач для уравнений (l)-(2) для двух и более пространственных переменных. Имеются лишь результаты относительно отдельных частных случаев. Так, в работе [3] доказано существование слабого обобщенного решения задачи Коши в R³ для уравнений вида (1)-(2) в случае отсутствия конвективного переноса. В [4] получен результат о единственности слабых решений этой задачи Коши в предположении, что массовые силы и члены, учитывающие обмен импульсом между различными компонентами смеси и конвективный перенос, равны нулю. В [5] доказано существование слабого обобщенного решения краевой задачи типа (1)-(2) при условии отсутствия конвективных слагаемых в уравнениях (2) и уравнениях состояния .  В работе [6] рассматривалась краевая задача для квази-стационарной системы уравнений смеси со специальными граничными условиями, оправданными только с математической точки зрения.

Модели  смесей с уравнениями состояния  в одномерном случае изучались в работах [7,8].

В данной работе рассматривается модель механики сплошной среды, описывающая изотермическое движение двухкомпонентных смесей вязких несжимаемых жидкостей  между  двумя параллельными стенками 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

СТАЦИОНАРНОЕ  РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ ТЕЧЕНИЕ СМЕСЕЙ ВЯЗКИХ  НЕСЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ

  Наиболее  распространенным способом решения  дифференциальных уравнений механики сплошных сред является способ, в основе которого лежит заранее принимаемое предположение о форме траекторий всех частиц среды. Следуя этому способу, рассмотрим прямолинейно-параллельное движение смесей вязких несжимаемых жидкостей между двумя параллельными стенками простирающимися в направлении осей и до бесконечности (рис.1).

 

  Рис. 1. К течению смесей вязких жидкостей  между параллельными стенками

    Обозначим расстояние между стенками через . Начало оси возьмем на средней линии между стенками.

  Из  предположения о плоско-параллельности движения и из уравнений (1) следует, что

В этом случае уравнения (2) существенно упрощаются и принимают следующий вид:

Из (6) и (7) непосредственно вытекает, что

  Ясно, что равенства (7) могут иметь место  тогда и только тогда, когда обе  части уравнений

являются  постоянной величиной. Обозначив  через , будем иметь

Для полного  определения вида прямой (9), характеризующей  изменение давления вдоль оси  для -ой компоненты смеси, т.е. для определения и , достаточно задать значения давлений и в каких либо двух сечениях объема, занимаемого смесью (например, при и ).

  Рассмотрим  теперь задачу об определении скорости движения и каждой из рассматриваемых компонент смеси жидкостей между двумя параллельными стенками, при условии, что постоянные заданы. Для простоты примем, что .

  Для определения  и на основании (7) и (9) имеем следующую систему уравнений:

Уравнения (10) необходимо дополнить граничными условиями. Предположим, что нижняя граница (стенка) перемещается с постоянной скоростью  , а верхняя - со скоростью . Тогда, мы приходим к следующим условиям на границе:

  Решение задачи (10)-(11) сводится к рассмотрению следующих двух случаев.

  I) Если , то мы приходим к решению обыкновенного дифференциального уравнения для

при граничных  условиях

где , .

  Краевая задача (12)-(13) имеет единственное решение, которое выглядит следующим образом:

где

,

, ,

,    .

  Зная  теперь , найдем из следующего выражения

  II) Если , то для определения , мы получаем следующую краевую задачу:

Так как  , то решение задачи (16) единственно и имеет вид

где

.

  Далее, определим функцию  как решение краевой задачи

общее решение которой представляется в виде

где

,

, ,

, .

  Заметим, что если в уравнениях (2) мы не будем  брать в расчет слагаемые, отвечающие за обмен импульсом между различными составляющими смеси (т.е. слагаемые  ), то решение задачи (10)-(11) в этом случае имеет следующий вид:

  А) Если , то

  Б) если , то и

  Проведем  сравнительный анализ результатов доставляемых предположенной моделью смеси и классической моделью, описывающей течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя параллельными стенками. Предположим, что обе компоненты смеси физически неразличимы, т.е. . Тогда, во всех случаях скорости движения составляющих смеси одинаковы и имеют вид

Формула для определения скорости течения  вязкой несжимаемой жидкости между  параллельными стенками аналогична этой формуле. Ясно, что картина движения такой смеси ничем не отличается от течения вязкой несжимаемой жидкости с теми же свойствами. Также сохраняется все качественные зависимости (расход, средняя и максимальная скорость движения, коэффициент сопротивления и др.) присущие классической модели, описывающей движение вязкой несжимаемой жидкости между двумя параллельными стенками.

     Теперь, выясним вопрос о влиянии на физическую картину течения смеси слагаемых, ответственных за обмен импульсом  между ее составляющими. В соответствии с этим зададим значения коэффициентов вязкости ; значения перепада давления - ; расстояние между стенками - ; скорости движения на границе  . Построим графики функций ,  изменяя значения параметра в пределах от до 1. 
 
 

1)

     

          -

          -

     

     

           -

             -

 

2)

     

           -

               -

           

     

                -