Свойства непрерывных функций

 

Оглавление

 

1. Задание №1

 

Вычислить предел функции.

Решение.

Избавимся от неопределенности. Разложим числитель  и знаменатель на множители.

Избавимся от неопределенности. В числителе и знаменателе вынесем множитель за скобки, получим:

Избавимся от неопределенности. Умножим числитель и знаменатель на , получим:

Избавимся от неопределенности. Используем первый замечательный предел:

2. Задание №2

 

Вычислить производную функции.

Решение.

3. Задание №3

 

Исследование функции.

Решение.

1. Область определения. Преобразуем выражение:

Область определения .

2. Нули функции. График функции не пересекает ни ось абсцисс ни ось ординат.

3. Асимптоты.

1) Вертикальные асимптоты.  – вертикальная асимптота.

Найдем правый предел:

Найдем  левый предел:

 – вертикальная асимптота. 

Найдем  правый предел:

Найдем  левый предел:

2) Горизонтальные асимптоты:

 – горизонтальная асимптота.

3) Найдем наклонные асимптоты:

Наклонных асимптот нет.

4. Найдем точки экстремума и интервалы возрастания и убывания.

Найдем  производную функции и приравняем к нулю.

Получим точки  , , .

Нанесем найденные точки на числовую ось и определим знаки производной.

Следовательно,

на интервале  функция возрастает.

на интервале  функция убывает.

В точке  , функция достигает максимального значения .

5. Определим точки перегиба:

В точках , вторая производная не существует.

 при любых  .

Определим знаки второй производной:

Таким образом,

при график функции обращен вогнутостью кверху.

при график функции обращен вогнутостью книзу,

6. Строим график:

Наибольшее значение на интервале  достигается в точке , .

Наименьшее значение на интервале достигается как в точке так и в точке , при этом .

 

4. Задание №4

 

Вычислить интеграл.

Решение.

5. Задание №5

 

Вычислите определенный интеграл.

Решение.

 

6. Задание №6

 

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Решение.

Сделаем чертеж.

Искомая площадь равна:

7. Задание №7

 

Решите уравнения и найдите  частное решение, если требуется.

Решение.

1) Запишем характеристическое уравнение:

Так как корни вещественные и равные, то общее решение уравнения имеет вид:

Ответ:

2) Запишем характеристическое уравнение:

Так как корни вещественные и  равные, то общее решение уравнения имеет вид:

Найдем частное решение, удовлетворяющее  начальным условиям:

, .

Найдем производную:

Подставим начальные условия, получим  систему уравнений:

Ответ: .

Список использованной литературы

 

1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1956 г. 783 с.
2. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981 – 720 с.