Теорема Лагранжа

     Теорема Лагранжа

     Результаты  теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736–1813).

     Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

     Доказательство. Рассмотрим график функции  (рис. 2.1).

     Проведем  хорду, соединяющую точки  и , и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим:  ,            откуда: 

     Рис. 2.1 

       и  .

Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя  из уравнения кривой уравнение хорды:       .

     Полученная  функция  непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление в точках и показывает, что . Значит, функция на отрезке удовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка , в которой .

     Вычислим  производную функции  :      .

     Согласно теореме Ролля в точке производная , то есть и         ,   что и требовалось доказать.

     Геометрический  смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка  существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при теорема переходит в теорему Ролля.

     Теорему Лагранжа часто записывают в следующем  виде:     ,

то есть приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции в некоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях. 
 

     . Правило Лопиталя

Теорема. Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы во всех точках полуинтервала и при совместно стремятся к нулю или бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при , то этот же предел имеет отношение и самих функций, то есть

     Проведем  доказательство данной теоремы только для случая, когда  . Так как пределы у обеих функций одинаковы, то доопределим их на отрезке , положив, что при выполняется равенство .

     Возьмем точку  . Так как функции и удовлетворяют теореме Коши (п. 2.14), применим ее на отрезке : 

      , где  .

              Так как , то    .

     Перейдем в данном равенстве к пределу:     .

         Но если , то и , находящееся между точками и , будет стремится к , значит

             .   Отсюда, если , то и , то есть       ,    что и требовалось доказать.  Если при , то снова получается неопределенность вида и правило Лопиталя можно применять снова, то есть

Доказательство правила  Лопиталя для случая проводится сложнее, и мы его рассматривать не будем.

     При раскрытии неопределенностей типа , , , , правило Лопиталя применять непосредственно нельзя. Вначале все эти неопределенности необходимо преобразовать к виду или .