Теоремы Ляпунова

Функция Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости. Теорема Четаева

Пусть V(x) – функция переменной  . Будем говорить, что функция V(x) положительно определена в окрестности U точки , если при и . Если же в окрестности U выполнены условия при и , то будем говорить, что функция V(x) отрицательно определена в окрестности U. Например, функция положительно определена в любой окрестности точки  .  Отметим, что при уравнение определяет параболоид вращения.

Линии уровня этой поверхности представляют собой окружности, которые стягиваются  в точку (0,0) при (рис. 2.1.4).

Аналогичным свойством обладают поверхности уровня любой положительно определенной функции.

 

Лемма 2.4.1. Если функция V(x) положительно определена в некоторой окрестности U точки , то при достаточно малом   множество представляет собой замкнутую поверхность, стягивающуюся при  к точке .

Пример 2.4.1. Пусть , где H положительно определенная матрица. Тогда V(x) – положительно определенная функция (положительно определенная квадратичная форма). Поверхности уровня такой функции представляют собой эллипсоиды, стягивающиеся к точке при .

Определение 2.4.1 Положительно определенная в некоторой окрестности U точки дифференцируемая в этой окрестности  функция  V(x)  называется функцией Ляпунова для системы

                             ,                                                                            (2.4.1)                                                                                      

 если ее  производная  не положительна в указанной окрестности.

 Приведенная ниже теорема А.М.Ляпунова является одной из центральных теорем так называемого  второго метода Ляпунова, играющего важную роль в качественной теории дифференциальных уравнений.

Теорема 2.4.1. Если в некоторой окрестности U положения равновесия системы (2.4.1) существует функция Ляпунова V(x), то это положение равновесия устойчиво по Ляпунову.

Доказательство. Прежде чем непосредственно перейти к доказательству, наметим его геометрическую идею для случая . Пусть, для простоты a – точка (0,0). Как было отмечено выше, линии уровня – замкнутые (при малых С) кривые, охватывающие начало координат. Эти кривые  стягиваются в точку (0,0) при и кривая  лежит внутри кривой  при (рис. 2.1.5)

 Выпустим фазовую траекторию  в момент времени из точки . Поскольку , то при .  Поэтому точка на траектории не может сильно отклониться от положения равновесия. При линия стягивается в точку (0,0) (рис. 2.1.5).

Перейдем теперь к строгим рассуждениям. Пусть . Выберем столь малым, чтобы  шар лежал в окрестности U точки (рис. 2.1.6). Пусть граница шара – сфера . Так как – замкнутое ограниченное множество, а V(x) – непрерывная функция и на , то .

Рассмотрим шар  , содержащийся в U. Так как , то можно выбрать столь малым, чтобы выполнялось неравенство при .  Покажем, что если , то при .  Тем самым теорема будет доказана.

Так как  в U и , то при вдоль траектории .  Следовательно, траектория, которая начинается в шаре ,  не может пересечь сферу , так как на и вдоль рассматриваемой траектории. Теорема доказана.

Теорема 2.4.2. (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Пусть в некоторой окрестности U положения равновесия системы (2.4.1) существует функция Ляпунова V(x) такая, что ее производная в силу этой системы отрицательно определена в U.  Тогда положение равновесия асимптотически устойчиво.

Доказательство. Выберем шары  и также, как это было сделано при доказательстве теоремы 2.4.1. Если , то при . Рассмотрим функцию .Так как , то функция w(t) не возрастает и, следовательно, существует .

 Если  , то , поскольку при и . В этом случае теорема доказана.

Допустим, что  и приведем это предположение к противоречию. В рассматриваемом случае при всех и существует такое, что  выполнено при . Действительно, если бы это было не так, то на рассматриваемой траектории имелись бы точки сколь угодно близкие к точке и функция V(x) в этих точках принимала бы сколь угодно малые значения.  В шаровом слое функция по условиям теоремы строго отрицательна. В силу непрерывности функции в указанном шаровом слое (и, значит, на рассматриваемой траектории) выполнено соотношение . Поэтому . Интегрируя последнее неравенство, получим

                при .

Пришли к противоречию с предположением  при .

Теорема доказана.

Теорема 2.4.2  не дает оценки скорости стремления к нулю при . Следующее утверждение позволяет получить такую оценку.

Теорема 2.4.3.  Пусть положение равновесия системы (2.4.1) и существует  положительно определенная в некоторой окрестности  точки  функция V(x) такая, что

                        ,                 (2.4.2)  
где  – некоторые положительные числа.

Тогда существует такая  постоянная , что

                  при                                                                      

для всех достаточно малых  .

Доказательство. Пусть . Тогда

             . 
Интегрируя последнее неравенство, получим

. 
По условию (2.4.2):

при . Теорема доказана.

Пусть некоторый шар, содержащий  положение равновесия системы (2.4.1),  – открытая область, имеющая 0 своей граничной точкой (рис.2.1.7), а V(x) – непрерывно дифференцируемая  в U функция.

Теорема 2.4.4 (Теорема Четаева). Пусть   при   и для любого существует такое, что из условия следует, что для любого . Пусть в тех граничных точках области , которые лежат в U. Тогда положение равновесия неустойчиво по Ляпунову при .

 

 

Доказательство. Пусть – любое сколь угодно малое число. Обозначим через шар радиуса с центром в точке и покажем, что любая траектория с ростом t пересечет ту часть границы области , на которой (рис.2.1.8). Это и будет означать неустойчивость по Ляпунову состояния равновесия .

Из условия  следует, что . Но тогда при до тех пор, пока . Положим . Тогда для тех t, для которых , выполнено .  Интегрируя последнее неравенство, получим 

                    . (2.4.3) 
Из последнего соотношения вытекает существование такого , что (находится на границе области ). В самом деле, если бы  имело место включение при всех , то из неравенства (2.4.3) следовала бы неограниченность функции V(x) в области , а это противоречит предположению о непрерывности функции V(x) в шаре U.  Итак, существует такое, что и при этом . Теорема доказана.

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих применение теорем Ляпунова и Четаева.

Пример 2.4.2. Пусть уравнения возмущенного движения имеют вид

 
Здесь, очевидно, – положение равновесия. Для исследования его на устойчивость рассмотрим функцию .  Очевидно,  . Производная этой функции в силу рассматриваемой системы

        .

Следовательно, возмущенное  движение устойчиво по Ляпунову.

Пример 2.4.3.. Рассмотрим систему

 
В качестве функции Ляпунова возьмем    . Имеем,

  . По теореме 2.4.2 состояние  равновесия (0,0) асимптотически устойчиво  по Ляпунову.

Пример 2.4.4.. Рассмотрим систему

Пусть . .  Очевидно, в той области на плоскости , где (рис. 2.1.9).

Если  , то .  Значит выполнены все условия теоремы Четаева, и состояние равновесия  неустойчиво по Ляпунову.

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 4

Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова или Четаева

 

1.	11.	21.
2.	12.	22.
3.	13.	23.
4.	14.	24.
5.	15.	25.
6.	16.	26.
7.	17.	27.
8.	18.	28.
9.	19.	29.
10.	20.	30.