Теория множеств

Теория множеств

Пусть и - два множества. Отображением множества в называется правило, которое любому ставит в соответствие единственный элемент .

Множество называется областью определения функции и обозначается . Множество называется областью значения отображения и обозначается .

Пусть нами заданы и два множества . Образом множества при отображении будем называть следующее множество . Прообразом множества при отображении будем называть множество .

Отображение называется сюръективным или отображением «на», если . Отображение называется инъективным или отображением «в», если из того, что , следует, что . Отображение называется биективным или взаимооднозначным, если оно сюръективно и инъективно одновременно.

Для биективного отображения  есть обратное отображение . Обратное к обратному отображению есть самоотображение: .

Пусть даны два отображения  и , тогда отображение называется суперпозицией отображений и .

Функция может быть задана формулой, таблицей, графиком или алгоритмом.

Если для двух произвольных множеств существует биективная функция , то эти множества называются эквивалентными или равномощными: . Свойства: 1. ; 2. ; 3. .

Множество называется счетным, если , т.е. элементам множества можно поставить в соответствие натуральные числа. Множество называется конечным, если существует , что множество , где .

Мощностью конечного множества называется число элементов, содержащихся в этом множестве: . Свойства конечных множеств: 1. ; 2. ; 3. .

Свойства счетных множеств: 1. Для  того, чтобы множество  было счетным множеством необходимо и достаточно, чтобы множество можно было записать в виде ; 2. Любое бесконечное подмножество счетного множество счетно; 3. Объединение конечного или счетного числа счетных множеств тоже счетно; 4. Если элементы множества описываются индексами, каждый из которых независимо от других индексов пробегает счетное число значений, то такое множество тоже будет счетным; 5. Бесконечное множество содержит счетное подмножество; 6. Существуют несчетные множества.

Свойства бесконечных множеств: 1. Из всякого бесконечного множества  можно выделить счетное подмножество; 2. Если к бесконечному множеству прибавить конечное или счетное множество, то полученное множество будет эквивалентно исходному; 3. Всякое бесконечное несчетное множество содержит эквивалентное ему собственное подмножество.

Теорема Кантора. Множество действительных чисел несчетно. Следствия: 1. Множество действительных чисел, образующих любой интервал несчетно; 2. В любом интервале имеются иррациональные числа.

Если числовое множество эквивалентно , то это множество называется множеством мощностью континуум или множество мощностью . Свойства: 1. - множества мощности континуум; 2. Объединение конечного или счетного числа множеств мощностью континуум есть множество мощностью континуум; 3. Множество действительных чисел имеет мощность континуум.