Теория устойчивости. Фазовые портреты

, (3.6)

. (3.7)

Эти кривые являются интегральными кривыми или траекториями дифференциального уравнения

, (3.8)

которое получается из системы (3.1) путем деления друг на друга правых и левых частей.

Начало координат О(0;0) является особой точкой дифференциального уравнения (3.8), так как эта точка не принадлежит к области существования и единственности решения.

Характер решений (3.5) и вообще решений системы (3.1) наглядно иллюстрируется расположением интегральных кривых

(3.9)

образующих общий интеграл дифференциального уравнения. Постоянная C определяется из начального условия . После подстановки значения C получаем уравнение семейства в форме

(3.10)

В случае решений (3.5) особая точка называется устойчивым узлом. Говорят, что точка, двигаясь по траектории, неограниченно приближается к особой точке при . Другими словами, если точку в начальный момент времени «вытолкнуть» сколь угодно далеко из состояния покоя О(0;0), то она неминуемо вернется обратно.

Отметим, что характер поведения  траекторий уравнения (3.9) вблизи начала координат при произвольных коэффициентах такой же, какой будет рассмотрен в примерах.

ПРИМЕР.

Исследовать устойчивость решения  системы уравнений

Характеристическое уравнение  будет

.

Его корни

Тогда решения , .

Очевидно, что при. Решение x=0, y=0 устойчиво. Обратимся теперь к фазовой плоскости. Из условия получаем .

Это система парабол.

Особая точка О(0;0) есть устойчивый узел.

2. Корни характеристического уравнения действительные, положительные и различные: .

В этом случае решения выражаются также формулами (3.4) и (3.5) соответственно. Но в данном случае при как угодно малых будет при , так как и при, так как при . На фазовой плоскости особая точка – неустойчивый узел: при точка на траектории удаляется от точки покоя x=0, y=0. Другими словами, если вывести точку из состояния равновесия даже на сколь угодно малую величину, она с ростом времени будет неограниченно удаляться от точки покоя.

ПРИМЕР.

Исследовать устойчивость решения  системы уравнений

Характеристическое уравнение  будет

 

Его корни .

Тогда решение , .

Решение неустойчиво, т.к. при . Исключая параметр из уравнений получаем

Особая точка О(0;0) есть неустойчивый узел.

3. Корни характеристического уравнения действительные, разных знаков, например .

Тогда при как угодно малых, если , будет при . Решение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется седлом.

ПРИМЕР.

Исследовать устойчивость решения  системы уравнений

Характеристическое уравнение  будет

.

Его корни

Тогда решения , .

Решение неустойчиво. Обратимся  теперь к фазовой плоскости. Исключая параметр из уравнений получаем .

Особая точка О(0;0) есть седло.

4. Корни характеристического уравнения комплексные с отрицательной действительной частью:

Решение системы (3.1) будет

 

, (3.11).

Если ввести обозначение

, , ,

то уравнения можно  переписать в виде

 

,

где и – произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий: , при t=0, причем

 

откуда находим

(3.12).

Очевидно, что при любом ε>0 при достаточно малых будут выполняться соотношения

 

Решение устойчиво. В данном случае при

 

неограниченное число  раз меняя знаки. На фазовой плоскости  особая точка называется устойчивым фокусом.

ПРИМЕР.

Исследовать устойчивость решения  системы уравнений

 

Характеристическое уравнение  будет

 

Его корни .

Находим по формулам (3.12). Подставляя в (3.11), получаем

 

.

Очевидно, что при любых  значениях t

.

При имеем . Решение устойчиво.

Выясним характер расположения кривых на фазовой плоскости в  этом случае. Пусть

, ,

, .

Тогда

.

Перейдем к полярным координатам ρ,θ и установим зависимость ρ=f(θ). Уравнения принимают вид

.

Возводя в квадрат и  складывая, получаем

 

Установим зависимость t(θ). Деля уравнения друг на друга получаем

 

откуда

 

или

 

Обозначая , окончательно получим

 

Это семейство логарифмических спиралей. В этом случае при точка по траектории приближается к началу координат. Особая точка O(0;0) есть устойчивый фокус.

5. Корни характеристического уравнения комплексные с отрицательной действительной частью: .

В этом случае решения выражаются также формулами (3.11), где . При любых начальных условиях и при величины могут принимать как угодно большие значения. Решение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется неустойчивым фокусом. Точка по траектории неограниченно удаляется от начала координат.

ПРИМЕР.

Исследовать устойчивость решения  системы уравнений

Характеристическое уравнение  будет

 

Его корни .

Решение (3.11) с учетом (3.12)

 

.

На фазовой плоскости  получим кривую в полярных координатах

.

Особая точка – неустойчивый фокус.

6. Корни характеристического уравнения чисто мнимые..

Решения в этом случае примут вид

 

.

Откуда по (3.12)

.

Очевидно, что при любом ε>0 при достаточно малых будут выполняться соотношения

 

Решение устойчиво.

Проведем анализ интегральных кривых на фазовой плоскости. Первое из решений запишем в виде

 

,

Исключаем параметр из уравнений

.

Далее получим

 

Это семейство кривых второго  порядка. Каждая из них не имеет неограниченно  отдаленных точек. Следовательно, это семейство эллипсов, окружающих начало координат (при с=0 оси эллипсов параллельны осям координат). Особая точка называется центром.

ПРИМЕР.

Исследовать устойчивость решения  системы уравнений

 

Характеристическое уравнение будет

 

Его корни .

Решение

 

.

На фазовой плоскости  получим эллипсы

 

Особая точка – центр.

7. Пусть

Решение в этом случае принимает  вид

 

 

Очевидно, что при любом ε>0 при достаточно малых будут выполняться соотношения Следовательно решение устойчиво.

8. Пусть

Решение неустойчиво, т.к. + при .

9. Пусть . Решение будет

 

.

Так как в данном случае при , то при любом ε>0 можно подобрать что будет при любом . Решение устойчиво.

10. Пусть .

Форма решения остается  такой же, как и в предыдущем случае, но при , . Решение неустойчиво.

11. Пусть . Тогда

,

.

Откуда видно, что  и при . Решение неустойчиво.

Теперь дадим общий  критерий устойчивости решения системы (3.1).

Запишем корни характеристического  уравнения  в форме комплексных  чисел:

,i.

Возьмем плоскость  комплексного переменного и будем изображать корни характеристического уравнения точками на этой плоскости. Тогда на основании рассмотренных случаев условие устойчивости решения системы (3.1) можно сформулировать следующим образом.

Если ни один из корней характеристического уравнения  не лежит не лежит справа от мнимой оси, причем хотя бы один корень отличен от нуля, то решение устойчиво; если же хотя бы один корень лежит справа от мнимой оси, или оба корня равны нулю, то решение неустойчиво.

Заключение.

Разработка теории устойчивости движения ведется по многим направлениям. Здесь надо назвать развитие и  применение первого и особенно второго  методов Ляпунова, в том числе метода вектор-функций Ляпунова, установление новых теорем, расширяющих и углубляющих эти методы; анализ существования функций Ляпунова и их эффективного построения; исследования устойчивости по первому приближению и в критических случаях, а также при постоянно действующих возмущениях; исследования устойчивости периодических и неустановившихся} движений и устойчивости на конечном интервале времени; развитие теории приводимых и правильных систем, а также качественной теории дифференциальных уравнений; исследования устойчивости движения по отношению к части переменных, устойчивости гамильтоновых систем и устойчивости в случае внутренних резонансов; разработка методов исследования устойчивости на ЭВМ; распространение методов Ляпунова на системы, описываемые аппаратом, отличным от обыкновенных дифференциальных уравнений (уравнения с последействием), на системы с распределенными параметрами, на сплошные среды и многие другие. Метод функций Ляпунова с успехом применяется также во многих областях анализа, например, в получении оценок приближенных интегрирований, в теории оптимального управления и оптимальной стабилизации, в теории дифференциальных игр, в теории нелинейных колебаний и во многих других областях науки и техники.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература.

1. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - М. Наука, 1966. - 530 с.
2. Овчинников П.Ф., Лисицын Б.Н., Михайленко В.М. Высшая математика.-К.: Выща шк., 1989. – 679 с.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т. Т II. – М.: Интеграл-Пресс, 1998. – 544 с.
4. Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика. Часть 4. Дифференциальные уравнения. Ряды. Функции комплексного переменного. Операционный метод. Учебное пособие. – Томск, Изд. «Дельтаплан», 2007. – 264 с.