В частности тривиальное решение  тоже точка покоя для этой системы, при чем она находится в начале координат.

      Определение. Пусть дана система (1), будем исследовать на устойчивость ее точку покоя и ее тривиальное решение. Если с течением времени точки всех траекторий будут приближаться к началу координат или хотя бы не удалятся от него, то тогда данную точку покоя можно назвать устойчивой.

      Пусть расстояние от до точки покоя, т.е. . Исследуем знак производной функции , что бы определить характер возрастания или убывания:

В этом выражении  правая часть – некоторая известная  функция f_i , следовательно, знак этой часть можно определить, т.е. остается потребовать, что бы . В этом случае точка будет устойчива, и траектории всех точек не будут удаляться от начала координат.

      Для удобства вычисляют  , т.к. знаки производных этих функций совпадают. Но точка покоя может быть устойчива и асимптотически устойчива и при не монотонном приближении к точке покоя с возрастанием t. Поэтому вместо r или r² Ляпунов предложил использовать некоторою функцию: или , которая в некотором смысле является обобщением расстояния от заданной точки до начала координат. Основное свойство V и r: если V мало то и r мало. Такие функции V получили название функции Ляпунова.

Теорема Ляпунова об устойчивости. Если существует дифференцируемая функция  , удовлетворяющая в некоторой h окрестности начала координат ( )   ||x||£h при t³t₀ условиям:

1).

W непрерывная функция, обращающаяся в 0 только в начале координат, т.е.

2). Неположительна вдоль интегральных кривых (1).

      

Такая производная, зависящая  от t и от x  - субстанциальная.

Т.е. V вдоль интегральных кривых при возрастании t не возрастает и тогда точка покоя устойчива.

  Замечание. Если функция V (функция Ляпунова) не зависит от  t , то первое условие теоремы заменяется условием не отрицательности , причем функция Ляпунова обращается в ноль только в начале координат, то есть там достигается строгий минимум . 

  Определение. Функция , удовлетворяющая условию (1) теоремы Ляпунова называется определенно-положительной. 

  Замечание. Если в условие (1) теоремы Ляпунова изменить знаки неравенства на противоположные, то функция Ляпунова будет называться определенно-отрицательной.

  

  Если  рассматривать функцию V, зависящую только от аргументов x, то мы ее можем определить в виде , тогда при , она будет определенно положительной, а при , определенно отрицательной. 

  Пример:  исследовать на устойчивость точку x=0, y=0.

                  Система: 

                  Тривиальное решение  А(0,0)  :  x=0, Y=0.

                  , где - некоторые коэффициенты.

                    

                    

                   Точка А(0,0) устойчива. 

  Следствие 1 из теоремы. При выполнении условий теоремы Ляпунова, все решения системы (1) с достаточно малыми по норме начальными значениями бесконечно продолжаемы вправо и ограничены на полуоси . 

  Следствие 2. Если для линейной однородной системы (1), где матрица А(t) принадлежит пространству непрерывных функций, определенных на , существует положительно определенная функция , для которой , то все решения этой системы определены и ограничены на полуоси . 

  Теорема Ляпунова об асимптотической  устойчивости. Пусть  существует дифференцируемая функция Ляпунова , которая в h окрестности начала координат удовлетворяет условиям: 

  1.) определенно-положительная, то есть , где непрерывная функция аргументов , равная нулю только в начале координат;

  2.) определенно-отрицательная, то есть , функция обращается в ноль только в начале координат;

  3.) функция Ляпунова V равномерно по t стремится к нулю при условии, что , то есть . При этом условии точка покоя системы (1) – начало координат, будет        

  асимптотически  устойчивой.                              

  Следствие. Если для линейной однородной системы (1) существует определенно-положительная функция Ляпунова, которая удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, то каждое решение этой системы будет асимптотически устойчивым в целом. 

  Исследование  на устойчивость по первому приближению.

  Определение. Пусть начало координат - это точка покоя для системы .                                                                             (1)

  И пусть  правая часть системы (1) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, а значит может быть представлена в виде :                                                (2)

  это разложение в ряд Тейлора, где А(t) – матрица, а для вектора F(t,x) выполняется: . Тогда линейная однородная система вида                                                                                                       (3)

  называется  первым приближением или линеаризацией системы (1). 

  Понятно, что матрица А будет состоять из частных производных функции  f по переменным , в окрестности точки х=0.

   . То есть если матрица А(t)=А не зависит от t (она постоянная), то система уравнений будет асимптотически устойчива, при условие, что .

  Пример:

  

  

                      

  

                      точка покоя асимптотически устойчива.

   Типы точек  покоя.

  I собственные значения - действительны и различны ( ). Тогда решение можно записать в виде . 

  

1. - тогда точка покоя будет  устойчивым узлом, так как все точки траектории находящиеся в начальный момент в любой - окрестности начала координат, при достаточно большом t, стремится к точкам, принадлежащим сколь угодно малой - окрестности начала координат.

 

    

  2.) - получим неустойчивый узел. 

  

  3.) - тогда точка покоя называется седлом. 

           

  II собственные значения комплексные

  1.) - тогда точка покоя называется устойчивым фокусом. 

       

  2.) - неустойчивый фокус. 

  

3. - точка будет устойчивой и  называться центром.

 

     

  III - кратные корни.

   , е – собственный вектор, f – присоединенный вектор.

  1.) , тогда при , то есть точка покоя будет асимптотически устойчивой, это будет устойчивый узел.

  2.) , тогда точка покоя – неустойчивый узел.