Треугольник Паскаля и его связь с биномом Ньютона

рис.7

Рассмотрим  квадраты 4x4 полученного таким образом  квадрата. В этом квадрате 16 клеток (см.рис.8).

рис.8.

Закономерность  будет верна для любого m.

2. Между рядом Фибоначчи и треугольником Паскаля существует любопытная связь: Образуем для каждой восходящей диагонали прямоугольного треугольника Паскаля сумму всех стоящих на этой диагонали чисел. Получим для первой диагонали 1, для второй 1, для третьей 2, для четвертой 3, для пятой 5. Мы получили не что иное, как пять начальных чисел Фибоначчи. Оказывается, что всегда сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи.

Треугольник Паскаля - арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами.

Если очертить треугольник Паскаля, то получится  равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам  стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Обладает симметрией относительно вершины. ^[1]

Имеет применение в теории вероятности и обладает удивительными свойствами.

В книге Мартина Гарднера «Математические новеллы» есть такие слова о треугольнике Паскаля: ^[2]

Треугольник Паскаля  так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время  он таит в себе неисчерпаемые сокровища  и связывает воедино различные  аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник  Паскаля одной из наиболее изящных  схем во всей математике.

История

Треугольник Паскаля  упоминается ещё Омаром Хайямом около 1100 года. В 1303 году была выпущена книга "Яшмовое зеркало четырех элементов" китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций. Изображен он был позже на титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета. ^[1] А в 1653 году (в других источниках в 1655 году^[1]) вышла книга о треугольнике Паскаля Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике». ^[2]

Треугольник Паскаля и биномиальные коэффициенты

Удивительные  свойства

• Число второго столбца соответствует номеру строки, на которой расположено число.
• Число третьего столбца равно сумме номеров строк, предшедствующих строке, на которой расположено число.
• Числа третьего столбца являются треугольными числами. ^[3]
• Числа четвертого столбца являются тетраэдрическими числами. ^[3]
• Сумма чисел n-й диагонали есть n-е число Фибоначчи^[3].
• Если вычесть из центрального числа соседнее число, то получится число Каталана. ^[3]
• Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2ⁿ. ^[3]