Трисекция угла

 

 

 

 

Трисекция угла

 

 

 

 

цель

 

• Целью данной работы является изучение всевозможных способов трисекции угла и применение их к составлению и решению задач

 

 

 

 

• Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.

 

 

 

 

Историческая справка

 

 

• Задача трисекции угла возникла в Древней Греции примерно в V веке до н.э. из потребностей архитектуры и строительной техники. Древним грекам удалось решить задачу о трисекции прямого угла при помощи циркуля и линейки. В дальнейшем было также доказано, что угол вида a =p /2n, где n - N , можно разделить на три равные части. Р. Декарт высказал предположение о неразрешимости задачи о трисекции произвольного угла при помощи циркуля и линейки без засечек.
• Это утверждение было доказано в 1837 году Ванцелем.
• Следствия, открытые в процессе решения задачи о трисекции угла.
• В 15 веке самаркандский ученый применил трисекцию угла к составлению весьма точных тригонометрических таблиц . В 16 веке французский математик Ф Виет на основе трисекции угла нашел тригонометрическое решение квадратного уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

В работе рассмотрено  два способа построения трисектрисы  угла :

 

при помощи циркуля  и линейки без засечек 

решение Гиппея при  помощи квадратриссы

 

 

 

 

 

Общее док-во трисекции  угла

 

• Так, деление прямого угла на три равные части умели производить ещё пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 . Пусть требуется разделить на три равные части прямой угол <MAN (Рис. 2). Откладываем на полупрямой  произвольный отрезок , на котором строим равносторонний треугольник ACB. Так как угол CAB равен 60   то <BAM=30 . Построим биссектрису |AD| угла САВ, получаем искомое деление прямого угла MAN на три равных угла <NAD, <DAB, <BAM.
• Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла (например, для углов в 90 \2, п – натуральное число), однако не в общем случае, т.е. любой угол невозможно разделить на три равных части с помощью только циркуля и линейки.

 

 

 

 

Трисекция угла при  помощи линейки без засечек

 

• При изучении первого способа построения нами были самостоятельно решены следующие задачи:
• трисекция угла в 90 , 45 , 22,5 ,... a =p /2n, где n- N (все эти углы образуют бесконечно малую геометрическую прогрессию со знаменателем q =1/2).

 

 

 

 

 

Трисекция угла при  помощи квадратрисы 

 

• Сравнительный анализ различных способов построения представлен в таблице. Здесь под легкостью построения понимается использование вспомогательных средств, а коэффициент точности высчитывается.

 

 

 

 

Решение Гиппея при  помощи квадратриссы

 

• Рассмотрим квадрат ABCD , в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка E равномерно движется по дуге от точки D до точки B; одновременно отрезок A'B' равномерно движется из положения DC в положение AB. Наконец, потребуем, чтобы оба движения закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса AE и отрезка A'B' опишет квадратрису (выделена красным цветом).

*** Квадратриса — плоская  трансцендентная кривая, определяемая  кинематически. Открыта, по сообщению  Прокла Диадоха, софистом Гиппием  (V век до н. э.), использовалась  в античные времена для решения  задач квадратуры круга и трисекции  угла.

 

 

 

 

Док-во трисекции угла  при помощи квадратрисы

 

• Трисекция угла, то есть деление произвольного угла на три равные части, с помощью квадратрисы проводится элементарно. Пусть EAB  — некоторый угол, треть которого надо построить. Алгоритм деления следующий:
• Находим точку F на квадратрисе и её ординату A'.
• Откладываем на отрезке AA' его третью часть; получим некоторую точку H.
• Находим на квадратрисе точку K с ординатой H.
• Проводим луч AK. Угол KAB — искомый.
• Доказательство данного алгоритма сразу следует из равномерности обоих движений, образующих квадратрису.
• Очевидно также, что аналогичным способом можно разделить угол не только на три, но и на любое другое число частей.

 

 

 

 

Сравнительный анализ  способов      построения  трисектрисы угла.