Удивительные числа

Содержание

 

Введение

Глава 1. О числе

Глава 2. Простые числа

2.1 Простые числа. Решето  Эратосфена

2.2 Числа – близнецы

2.3 Проблема Гольдбаха

Глава 3.Фигурные числа

3.1 Фигурные числа

3.2 Многоугольные числа

Глава 4. Дружественные, совершенные, компанейские числа

4.1 Дружественные числа

4.2 Совершенные числа

4.3 Компанейские числа 

Глава 5. Числовые суеверия и  мистические представления чисел

5.1 Число зверя 666

5.2 Число Шахиризады

5.3 Число на гробнице

Заключение

Литература

 

Введение  

 

Возникновение чисел в  нашей жизни не случайность. Невозможно представить себе общение без  использования чисел. История чисел  увлекательна и загадочна. Человечеству удалось установить целый ряд  законов и закономерностей мира чисел, разгадать кое-какие тайны  и использовать свои открытия в повседневной жизни. Без замечательной науки  о числах – математики – немыслимо сегодня ни прошлое, ни будущее. А сколько ещё неразгаданного!

"Самые древние по  происхождению числа – натуральные. "Ручейки" натуральных чисел,  сливаясь, порождают безбрежный  океан вещественных и разного  рода особых специальных чисел", так писал о числах Б.А.Кордемский  в своей книге "Удивительный  мир чисел".

Предметом моего исследования являются натуральные удивительные числа и их свойства.

Цель работы: как можно  больше отыскать удивительных натуральных  чисел, установить их свойства и закономерности.

Предлагаемая работа является результатом поиска удивительных и  необычных чисел, проведенного по литературным источникам.

Основными методами исследования видов чисел являются изучение и  обработка литературных источников, систематизация данных.

Задачи исследования:

1. Рассмотреть основные  этапы развития натуральных чисел.

2. Выделить интересные  виды удивительных натуральных  чисел: простые, числа - близнецы, фигурные, совершенные, дружественные  и другие.

3. Установить целый ряд  свойств, законов и закономерностей  этих чисел.

4. Раскрыть таинственную  магию и суеверие о некоторых  числах.

Глава 1. О числе

Число является одним из основных понятий математики. Понятие  числа развивалось в тесной связи  с изучением величин; эта связь  сохраняется и теперь.

Существует большое количество определений понятию "число". О  числах первый начал рассуждать Пифагор. Пифагору принадлежит высказывание "Всё прекрасно благодаря числу". По его учению число 2 означало гармонию, 5 – цвет, 6 –холод, 7 – разум, здоровье, 8 –любовь и дружбу. А число 10 называли "священной четверицей", так  как 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Оно считалось священным  числом и олицетворяла всю Вселенную.

Первое научное определение  числа дал Эвклид в своих "Началах": "Единица есть то, в соответствии, с чем каждая из существующих вещей  называется одной. Число есть множество, сложенное из единиц". Так определял  понятие числа и русский математик  Магницкий в своей "Арифметике" (1703 г.).

Считается, что термин "натуральное  число" впервые применил римский  государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524 гг.), но еще греческий  математик Никомах из Геразы говорил  о натуральном, то есть природном  ряде чисел.

Понятием "натуральное  число" в современном его понимании  последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).

Первоначальные представления  о числе появились в эпоху  каменного века, при переходе от простого собирания пищи к ее активному  производству, примерно 100 веков до н. э. Числовые термины тяжело зарождались  и медленно входили в употребление. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: "один" и "два". Остальные  количества для него оставались неопределенными  и объединялись в понятии "много". Росло производство пищи, добавлялись  объекты, которые требовалось учитывать  в повседневной жизни, в связи, с  чем придумывались новые числа: "три", "четыре"… Долгое время  пределом познания было число "семь".

О непонятном говорили, что  эта книжка "за семью печатями", знахарки в сказках давали больному "семь узелков с лекарственными травами, которые надо было настоять на семи водах в течение семи дней и принимать каждодневно по семь ложек".

Познаваемый мир усложнялся, требовались новые числа. Так  дошли до нового предела. Им стало  число 40. Запредельные количества моделировались громадным по тем временам числом "сорок сороков", равным 1600.

Большой интерес вызывает история числа "шестьдесят", которое  часто фигурирует в вавилонских, персидских и греческих легендах как синоним большого числа. Вавилоняне считали его Божьим числом: шестьдесят локтей в высоту имел золотой идол из храма вавилонского царя Навуходоносора. Позже с тем же самым значением (неисчислимое множество) возникли числа, кратные 60: 300, 360. Со временем число 60 в  Вавилоне легло в основу шестидесятеричной  системы исчисления, следы которой  сохранились до наших дней при  измерении времени и углов.

Следующим пределом у славянского  народа было число "тьма", (у древних  греков – мириада), равное 10 000, а  запределом – "тьма тьмущая", равное 100 миллионам. У славян применяли  также и иную систему исчисления (так называемое "большое число" или "большой счет").

В Античном мире дальше всех продвинулись Архимед (III в. до н.э.) в "исчислении песчинок" - до числа 10, возведенного в степень 8×10¹⁶ , и Зенон Элейский (IV в. до н. э.) в своих парадоксах – до бесконечности ∞.

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения  чисел. Сто веков понадобилось, чтобы  выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы  до бесконечности:1, 2, … ∞ . Натуральных  потому, что ими обозначались реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи… Самое трудное было придумать  нуль. Его придумали на много веков  позже, чем другие цифры. Первая точно  датированная запись, в которой встречается  знак нуля, относится к 876 г.

 

Глава 2. Простые числа

2.1 Простые числа.  Решето Эратосфена

Каждое натуральное число, большее единицы, делится, по крайней  мере, на два числа: на 1 и на само себя. Если ни на какое другое натуральное  число оно нацело не делится, то называется простым, а если у него имеются  ещё какие-то целые делители, то составным. Единичка же не считается ни простым  числом, ни составным.

Небольшую "коллекцию" простых чисел можно составить  старинным способом, придуманный  ещё в 3 в. до н. э. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской  библиотеки.

Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберём  в свою коллекцию, а остальные  числа, кратные 2, зачеркнем. Ближайшим  незачёркнутым числом будет 3. Возьмём  в коллекцию и его, а все  остальные числа, кратные 3, зачеркнем. При этом окажется, что некоторые  числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и др. Следующее  наименьшее незачёркнутое число  – это 5. Берем пятерку, а остальные  числа, кратные 5,зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, в конце концов добьемся того, что  незачеркнутыми останутся одни лишь простые числа – они словно просеялись сквозь решето. Поэтому  такой способ и получил название "решето Эратосфена".

 

Простых чисел бесконечное  множество.

 

2.2 Числа – близнецы

Два простых числа, которые  отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, получили название "близнецы". В натуральном  ряду имеется даже "тройня" - это  числа 3, 5, 7. Ну а сколько всего  существует близнецов - современной  науке неизвестно.

В пределах первой сотни  близнецы – это следующие пары чисел: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71,73). По мере удаления от нуля близнецов  становится все меньше и меньше. Близнецы могут собираться в скопления, образуя четверки, например, (5, 7, 11, 13) или (11, 13, 17, 19). Как много таких  скоплений – тоже пока неизвестно.

2.3 Проблема Гольдбаха

В 1742 г. член Петербургской  Академии наук Гольдбах в письме к  Эйлеру высказал предложение, что любое  целое положительное число, большее  пяти, представляет собой сумму не более чем трех простых чисел.

 

50 = 47 + 3, 46 = 43 + 3, 32 = 29 + 3.

 

Гольдбах испытал очень  много чисел и ни разу не встретил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли так  всегда, он не доказал. Долго ученые занимались этой задачей, которая названа "проблемой Гольдбаха" и сформулирована так, требуется доказать или опровергнуть предложение:

Всякое число, большее  единицы, является суммой не более трех простых чисел.

Л. Эйлер ответил Х. Гольдбаху, что он высказывает (без доказательства) еще более интересную догадку: "Всякое четное натуральное число, большее  двух, представляет собой сумму двух простых чисел".

 

12 = 5+ 7; 64 = 59 + 5 = 41 +23 = 47 +17; 28 = 11 + 17 = 23 + 5;

162 = 157 + 5 = 151 + 11 = 139 + 23 = 131 + 31.

 

Почти 200 лет выдающиеся ученые пытались разрешить проблему Гольдбаха  – Эйлера, но безуспешно.

 

Глава 3. Фигурные числа 

 

3.1 Фигурные числа

Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые  можно выложить из камушков. Можно  просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, то получаются все четные числа. Можно  выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три.  

 

 

 

Фигурные числа — общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой.

Различают следующие виды фигурных чисел:

Линейные числа — числа, не разлагающиеся на множители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …

Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, …

3.2 Многоугольные  числа

Выкладывая различные  правильные многоугольники, можно получить разные классы многоугольных чисел. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: "Возвести число в квадрат или в куб".

Последовательность треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 4 и т.д. (1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 и т. д.)

 

 

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами: 1, 4, 9, 16, 25, 36, и т.д. (1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16).

Пятиугольные  числа 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145

Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ...

 

 

   

 

Кубические числа возникают при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5·5·5=125... и так далее.

 

Глава 4. Дружественные, совершенные, компанейские числа

4.1 Дружественные  числа

 

Дружественные числа –  это два натуральных числа, для  которых сумма всех делителей  первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма  всех делителей второго числа (кроме  него самого) равна первому числу. По свидетельству античного философа Ямвлиха, великий Пифагор на вопрос, кого считать своим другом, ответил: "Того, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284".

История дружественных чисел  теряется в глубине веков. Эти  удивительные числа были открыты  последователями Пифагора. Правда пифагорейцы  знали только одну пару дружественных  чисел – 220 и 284. Проверим эту пару чисел на свойство дружественных  чисел:

 

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284,

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220.

 

Долго считалось, что следующую  пару дружественных чисел 17296 и 18416 открыл в 1636 году знаменитый французский математик  Пьер Ферма. Но недавно в одном  из трактатов арабского ученого  Ибн аль-Банны (1256-1321) были найдены  строки: "Числа 17296 и 18416 являются дружественными. Аллах всеведущ".

А задолго до Ибн аль-Банны  другой арабский математик абу-Хасан  Сабит ибн Курра (836-901) сформулировал  правило, по которому можно получить некоторые дружественные числа:

если для некоторого n числа p=3·2n-1-1, q=3·2n-1 и r=9·22n-1-1 простые, то числа A=2npq и B=2nr - дружественные.

При n=2, числа p=5, q=11, r=71 простые, и получается пара чисел Пифагора: 220 и 284.

При n=4, числа p=23, q=47, r=1151 простые, и получается пара чисел Ибн аль-Банны  и Ферма 17296 и 18416.

При n=7 получается пара чисел, найденная в 1638 году французским  математиком и философом Рене Декартом.

После Декарта первым получил  новые дружественные числа Леонард  Эйлер. Он открыл 59 пар дружественных  чисел, среди которых были и нечетные числа, например, 9773505 и 11791935. Он предложил  пять способов отыскания дружественных  чисел. Эту работу продолжили математики следующих поколений. В настоящее  время известно около 1100 пар дружественных  чисел. В 1867 году шестнадцатилетний  итальянец Никколо Паганини потряс математический мир сообщением о  том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие  дружественные числа.

Пару чисел 220 и 284 стали  считать символом дружбы. В Средние  века имели хождение талисманы с  выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви.

Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Например, есть ли пары, в которых одно число  четное, а другое - нечетное? Конечно  или бесконечно число пар дружественных  чисел? Существует ли общая формула, позволяющая описать все пары дружественных чисел?